第五章内容提纲

1第五章复频域分析重点：常见信号的拉氏变换对难点：收敛域及定义推导过程第四章的思想：一是将信号分解为jte虚指数信号的叠加——傅氏级数和傅氏变换。二是响应的合成。即把jte作为测试信号，系统频率特性()Hj响应为()jteHj叠加。对分析谐波成分、频率响应、波形失真、取样、滤波十分有效。本章以ste为基本信号。把拉氏变换用于系统分析，其功绩首推英国工程师heaviside。1899年其在解决电气工程中出现的微分方程时，首先发明了“算子法”。在实际应用中得到欢迎，但许多数学家认为缺乏严密的论证而极力反对，Heaviside追随者并未止步，最后在拉普拉斯著作中找到依据，取名为拉氏变换。三四十年代在电路分析、网络理论等方面有广泛的应用，直到五十年代奇异函数理论的进一步完善，给时域法带来生机，形成现在变换法与新时域法并驾齐驱的局面。（Laplace.pierre-simon，1749生于诺曼底的博蒙昴诺日，1827年死于巴黎。法国数学家天文学家。1785当于法国科学院院士。研究天体力学和物理学，天体力学的奠基人，分析概率论的创始人是应用数学的先驱。认为数学只是一种解决问题的工具，但在运用数学时创造和发展了许多新的数学方法。）一、拉普拉斯变换（LaplaceTransform）1、从傅氏变换到拉氏变换增加收敛因子ste作傅氏变换1()etFFftj()eedttftt(j)()edtftt(j)F:j,,s令具有频率的量纲称为复频率estFsfttdjjeetstFfttFsfttddejtftF对于是的傅里叶逆变换2j1eed2πttftFjet两边同乘以j1jed2πtftF:j;djdss其中若取常数，则jj::s积分限：对对jj1ed2πjstftFss拉氏变换对：j1jed1ed2πjstσstσFsLftfttftLftFss正变换逆变换2、收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域0lim()e0σttftσσ①因果信号②反因果信号③双边信号3、单边拉普拉斯变换（UnilateralLaplaceTransform）一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围0-：包含δ(t)及其各阶导数①因果信号f(t)在a＜t＜b内(0≤a＜b＜∞)可积②且对σ0有收敛域σ＞σ0称σ0为收敛横坐标。（abscissaofconvergence）说明：P2074、常见信号的拉氏变换①单边指数信号0eeedαtαtstLt0eαstαs1αs3②冲激信号0ed1stLttt0000edeststLttttt③阶跃信号0()1edstLutt011estss④正余弦信号二、拉氏变换的性质：1、线性：11221211221122()(),()(),,()()()()LftFsLftFsKKLKftKftKFsKFs若为常数，则2、原函数微分：d()()(),()(0)dftLftFsLsFsft若则3、原函数积分：()()LftFs若，则1(0)()()dtfFsLfττss4、延时：000()()()()()estLftFsLfttuttFs若，则5、S域平移：()()()e()αtLftFsLftFsα若，则6、尺度变换：()(),1()0LftFssLfatFaaa若则7、初值：0d()()()(),dlim()(0)lim()tsftftftFstftfsFs若及可以进行拉氏变换，且则8、终值；d()(),()()dftftLftFst设的拉氏变换存在，若，则0lim()lim()tsftsFs9、卷积：112212()()()()(),()LftFsLftFsftft若，，为有始信号，则1212()()()()LftftFsFs12121()()()()2jLftftFsFs410、S域微分：()()d()()(1)dnnnnLftFsFsLtftns若，则取正整数11、S域积分：()()()()dsftLftFsLFsst若，则三、拉氏逆变换：（1)部分分式法(2)利用留数定理——围线积分法(3)数值计算方法——利用计算机11101110()()()mmmmnnnnasasasaAsFsBsbsbsbsb1212()()()()()()()()()mmnnaszszszAsFsBsbspspsp123,,0,mzzzzAsFs是的根称为的零点123,,0,nppppBsFs是的根称为的极点Fs找出的极点Fs将展成部分分式ft查拉氏变换表求——利用变换对求原函数1.第一种情况：单阶实数极点12()()()()()nAsFsspspsp123,,npppp为不同的实数根1212()nnkkkFsspspsp2.第二种情况：极点为共轭复数3.第三种情况：有重根存在四、用拉氏变换分析电路列S域方程可从两方面入手：5•列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；•直接按电路的s域模型建立代数方程1、微分方程的S域求解：d()()(0)dftLsFsft222d()0(0)d()(0)(0)ftLssFsfftsFssff2、利用元件S域模型求解：KCL:()0()0itIsKVL:()0()0vtVs步骤：••••画0-等效电路，求起始状态；•画s域等效模型；•列s域方程（代数方程）；•解s域方程，求出响应的拉氏变换V(s)或I(s)；•拉氏反变换求v(t)或i(t)。电阻：()()RRVsIsR电感：()()(0)LLLVsIsLsLi()1()(0)LLLVsIsiLss电容：11()()(0)CCCVsIsvsCs()()(0)CCCIssCVsCv求响应步骤：•画0-等效电路，求起始状态；•画s域等效模型；•列s域方程（代数方程）；6•解s域方程，求出响应的拉氏变换V(s)或I(s)；•拉氏反变换求v(t)或i(t)。五、系统函数1、定义：rtethtRsEsHs()()()RsHsEs所以2、求系统函数的方法：htHs微分方程利用定义求解S域模型直接求解3、互联系统的系统函数：并联：12()()()HsHsHs时域：12hththt级联：12()()()HsHsHs12:()()()hththt时域反馈：)(thsHtesEtrsRsH1sH2sEsRsH1sH2sEsR712()()()EsEsEs22()()()EsRsHs12()()()()RsHsEsEs112()()()()HsEsHsEs112()()()()()HsEsHsHsRs112()()()()1()()HsRsHsEsHsHs所以六、与傅氏变换关系：,,e,,tft我们在引出拉氏变换时是针对不满足绝对可积条件对其乘以一个衰减因子作傅氏变换演变为拉氏变换j()()e()σtsσωLftFftutFs关系：00,,σsFω收敛轴位于平面的右半平面则不存在0j0,,sωσsFωFs收敛轴位于平面的左半平面则00,σ收敛轴位于虚轴jsωnnnFωFskδωω则sH1sH2sEsRsE1sE2