第五章刚体和流体

第五章刚体和流体基本要求：1.刚体的转动动能、转动惯量、力矩所作的功、动能定理和转动定理是刚体动力学中的重要内容，应该全面掌握它们的物理意义和计算方法；2.正确理解和掌握作定轴转动刚体相对转轴的角动量、角动量定理和角动量守恒定律，并能进行简单的运算；3.正确掌握静止流体中的压强概念；4.反映理想流体运动规律的伯努利方程是流体力学的基础，对于该方程的推导过程、物理意义、应用条件以及所涉及的一系列概念，要求读者正确理解和掌握，并能运用这个规律处理有关流体力学问题；§5-1刚体的运动一、平动和转动与物体的大小和形状有关的运动,通常是相当复杂的,其原因之一,是物体受力作用时要发生形变。但是在某些问题中,物体的大小和形状的变化很小,这样的物体我们可以用刚体这一理想模型来代表。所谓刚体,就是在任何情况下,其大小和形状都不变化的物体。平动和转动是刚体运动的最基本的形式。在刚体运动过程中,如果刚体上的任意一条直线始终保持平行,这种运动就称为平动。根据这个定义可以得出,既然刚体上的任意一条直线在刚体平动过程中始终保持平行,那么直线上所有的点应有完全相同的位移、速度和加速度。又因为这条直线是任意的,故可断定,在平动过程中,刚体上所有的点的运动是完全相同的,它们具有相同的位移、速度和加速度。既然如此,我们就可以用刚体上任何一点的运动来代表整个刚体的平动。前面关于质点运动的规律可以用来描述刚体的平动。在刚体运动过程中,如果刚体上所有的点都绕同一条直线作圆周运动,那么这种运动就称为转动。这条直线称为转轴。一个常见的例子是，一块木板被敲击后的运动，总是整体随质心的平动的围绕质心的转动：在一般情况下,刚体运动是相当复杂的,但无论多么复杂,总可以分解为平动和转动。让我们看一个较为常见的例子。取一块平整的木板,在质心c和其他任一位置分别打一个小孔,在小孔里各塞一团药棉,并分别滴入不同颜色的墨水,然后将木板平放在光滑的桌面上。当用小锤沿水平方向敲击木板侧面时,木板将在桌面上一边旋转一边滑动,浸有墨水的药棉将在桌面上描绘出两条轨迹。小孔c描绘的总是一条直线,如图5-1中的实线所示。而另一个小孔,由于敲击部位和敲击方向的不同，将描绘出形状不同的曲线，图5-1中的虚线是其中的一条。这表明，木板作为一块刚体,在一般情况下的运动,总是整体随质心c的平动和围绕c的转动的叠加或组合。二、刚体的定轴转动在刚体转动过程中,如果转轴固定不动,这种转动称为定轴转动。过刚体上任意一点并垂直于转轴的平面称为转动平面。显然,这种平面可以作无限多个,对于刚体的转动而言,它们是等价的,在研究刚体转动时可任选一个。在作定轴转动时，刚体上所有的点都绕转轴作圆周运动,因此具有相同的角速度和角加速度,在相同的时间内有相等的角位移。但是由于各点到转轴的距离不同,位移、速度和加速度却不相等。在§1-3中我们曾经把角速度的大小定义为.(5-1)角速度的方向可以这样确定：让右手四指沿转动方向围绕转轴而弯曲,拇指所指的方向就是角速度的方向。那么，如此方向的角速度是正值,还是负值呢?取转轴为z轴,当角速度指向z轴正方向时,ω0；当角速度指向z轴的负方向时,ω0。也可以按照下面的方法直接确定角速度的正、负：取转轴为z轴,面对z轴观察,若刚体作逆时针转动,ω0；若刚体作顺时针转动,ω0。我们曾经把角加速度的大小定义为.(5-2)角加速度的正、负应根据角速度的符号和刚体转动的情形确定：当刚体加速转动时,与符号相同；当刚体减速转动时,与符号相反。在§1-3中我们曾得到质点作圆周运动时角速度和角加速度与线速度和线加速度的量值的如下关系v=r,at=r,an=2r.式中r是质点作圆周运动的曲率半径，at和an分别是质点的切向加速度和法向加速度。这些量的方向关系示于图5-2中。§5-2刚体动力学一、刚体的转动动能设刚体绕固定轴oz以角速度转动,见图5-3。可以认为刚体是由n个可视为质点的体元所组成,各体元的质量分别为m1、m2、…、mn,各体元到转轴oz的距离依次是r1、r2、…、rn。显然,整个刚体的转动动能应该等于这n个体元绕oz轴作圆周运动动能的总和,即(5-3)我们将式(5-3)与质点运动动能的表达式相比较，可以看到，如果将刚体转动角速度与质点运动速率v相对应,那么必定与质点的质量m相对应,我们将这个量称为刚体对转轴的转动惯量,用j表示可写为.(5-4)将式(5-4)代入式(5-3),就得到刚体转动动能的一般表达式.(5-5)刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上的相似性是可以理解的,因为刚体转动动能实际上是组成这个刚体的所有质点作圆周运动的动能总和。下面我们会看到,这种表达形式上的相似性还表现在其他运动规律上。二、刚体的转动惯量从转动动能表达式我们已经看到,刚体的转动惯量j与质点的质量m相对应。在质点运动中,质点的质量是质点惯性的量度,质量越大,运动速度就越不容易改变。而在刚体转动中,也有类似的现象,即转动惯量越大的刚体,其角速度越不容易改变。所以,刚体的转动惯量是刚体转动惯性的量度。式(5-4)表明,刚体相对于某转轴的转动惯量,是组成刚体的各体元质量与它们各自到该转轴距离平方的乘积之和。刚体的质量是连续分布的,式(5-4)中的求和号可以用积分号代替,于是,(5-6)式中dv和ρ分别是体元的体积和密度,r是该体元到转轴的距离。利用式(5-6),我们计算了几种常见形状的刚体的转动惯量,并将结果列在表5-1中。由表5-1可以看到,刚体的转动惯量与以下因素有关：(1)刚体的质量：各种形状刚体的转动惯量都与它自身的质量成正比；(2)转轴的位置：在表5-1中,并排的两个刚体的大小、形状和质量都相同，但转轴的位置不同,转动惯量也不同；(3)质量的分布：质量一定、密度相同的刚体,质量分布不同(就是刚体的形状不同)转动惯量也不同。表中从上到下共列出了五种质量相等而形状各异的刚体，其转动惯量的数值差别很大。在国际单位制中,转动惯量的单位是kgm2(千克米2)。平行轴定理垂直轴定理可以帮助我们计算刚体对不同转轴的转动惯量：1.平行轴定理如果刚体对通过质心的轴的转动惯量为jc,那么对与此轴平行的任意轴的转动惯量可以表示为,(5-7)式中m是刚体的质量，d是两平行轴之间的距离。此式所表示的结论称为平行轴定理。由这个定理可以得出,在刚体对各平行轴的转动惯量中,以对过质心轴的转动惯量为最小。2.垂直轴定理若z轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面,xy平面与板面重合,则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯量有如下关系,(5-8)这一规律称为垂直轴定理。注意,对于厚度不是非常小的板,这个定理不适用。关于这两个定理的证明,在一般的力学书上都可以找到,如有需要，可去查阅。三、力矩作的功在质点力学中我们已经知道,如果质点在外力作用下沿力的方向发生位移,那么力对质点必定作功,并且功可由作用力与质点沿力的方向移过距离的乘积来表示。在刚体转动中,如果力矩的作用使刚体发生了角位移,那么该力矩也作了功,并且功的表示式与力对质点作功的表示式具有相似的形式。我们可以约定,以下所提及的外力都认为是处于转动平面内的：从§4-1对力矩的讨论中我们已经知道,对定轴转动的刚体起作用的力矩，只是力矩沿转轴的分量,即若取转轴为z轴,则起作用的只是mz。由对z轴力矩mz的表达式(4-4)可以看出,提供mz的只是f在o-xy平面(或任意一个转动平面)内的投影,而与f沿转轴的分量无关。所以,在讨论刚体定轴转动时,只需考虑外力f在转动平面内的分力就够了。既然如此,我们可以约定,以下所提及的外力都认为是处于转动平面内的。假设作用于以z轴为转轴的刚体上的多个外力分别是f1、f2、…、fn。让我们先考虑其中的fi对刚体的作用。如图5-6所示,外力fi作用于刚体上的点p,过点p作垂直于z轴的平面,交z轴于点o,显然这个平面就是刚体的一个转动平面。在此平面内,点p相对于点o的位置矢量为ri,ri与fi的夹角为i。在dt时间内,刚体转过了d角,与此相对应,点p的位移为dri。在此过程中,外力fi所作的元功为,如果fi与位移dri所夹的角为i,那么上式可化为,式中dsi是点p在dt时间内通过的路程。因为dsi=rid,并且cosi=sini,所以,(5-9)式中mzi是外力fi对转轴oz的力矩。对于作用于刚体的其他外力,同样也可用上述方法进行分析,并得出与上式相同的结果。因此,在整个刚体转过d角的过程中，n个外力所作的总功为,式中()是作用于刚体的所有外力对oz轴的力矩的代数和,也就是作用于刚体的外力对转轴的合外力矩mz。因此上式可以写为(5-10)上式表示,定轴转动的刚体在转过d角的过程中,外力矩所作的功等于外力对转轴oz的合力矩mz与转角d的乘积。这就是力矩作功的基本表达式。如果刚体在力矩mz的作用下绕固定轴从位置1转到2,那么在此过程中力矩所作的功应由下式求得(5-11)力矩的瞬时功率可以表示为,(5-12)式中是刚体绕转轴的角速度。式(5-12)表示,力矩的瞬时功率等于对转轴的力矩与角速度的乘积。四、动能定理根据功能原理,外力和非保守内力对系统所作的总功等于系统机械能的增量。这一适用于质点系的功能原理,对于刚体这一特殊质点系无疑也是适用的。不过,由于刚体内质点的间距保持不变,一切内力所作的功都为零。对于定轴转动的刚体而言,外力所作的功,总表现为外力矩所作的功;系统的机械能则表现为刚体的转动动能。这样,我们就可以写出下面的关系式.(5-13)将转动动能的具体形式代入上式,并积分,可得,(5-14)此式表示,对于定轴转动的刚体,外力矩所作的功等于刚体转动动能的增量。这就是作定轴转动刚体的动能定理。五、转动定理在质点运动中,力是引起质点运动状态变化的原因,力的作用使质点获得了加速度。这一物理过程的规律是由牛顿第二定律来表示的。在刚体转动中,力矩是引起刚体转动状态变化的原因,力矩的作用使刚体获得了角加速度。这一物理过程的规律是由下面的刚体转动定理来描述的。将力矩作功和转动动能的具体形式代入式(5-13)中,得,以dt除以上式等号两边,得,或者写为,(5-15)上式就是转动定理的数学表达式,它表示,在定轴转动中,刚体相对于某转轴的转动惯量与角加速度的乘积,等于作用于刚体的外力相对同一转轴的合力矩。对于给定的刚体和给定的转轴,其转动惯量是常量,因此刚体的角加速度正比于它所受外力对该转轴的合力矩。由转动定理和牛顿第二定律在数学形式上的相似性，可以帮助我们加深对转动惯量的理解：转动定理和牛顿第二定律在数学形式上是相似的,合外力矩与合外力相对应,转动惯量与质量相对应,角加速度与加速度相对应。在牛顿第二定律的讨论中我们已经知道,在相同外力作用下,质量较大的质点,获得的加速度小,即运动状态不容易改变,我们说它的惯性大;质量较小的质点,获得的加速度大,即运动状态容易改变,我们说它的惯性小。由转动定理我们可以得出类似的结论：在相同外力矩作用下,转动惯量较大的刚体,获得的角加速度小,转动状态不容易改变,我们说它的转动惯性大;转动惯量较小的刚体,获得的角加速度大,转动状态容易改变,我们说它的转动惯性小。由此我们就更清楚地看到了刚体转动惯量的物理意义。§5-3定轴转动刚体的角动量守恒定律一、刚体对转轴的角动量设刚体绕z轴作定轴转动。过刚体上任一质量为mi的体元作垂直于z轴的平面,交z轴于点o,显然这个平面就是一个转动平面,体元mi就在这个平面内绕z轴作圆周运动。根据公式(4-8),这个体元对z轴的角动量可以表示为lzi=rimivi,式中ri和vi分别是体元mi到转轴的距离和线速度。若刚体作定轴转动的角速度为,则vi=ri,于是lzi=ri2mi.(5-16)因为所有转动平面都是等价的,组成刚体的每个体元对转轴的角动量都可以用上式来表示,所以整个刚体对转轴的角动量则是将所有体元对转轴的角动量求和,即(5-17)上式表示,作定轴转动的刚体对转轴的角动量等于刚体对同一转轴的转动惯量与角速度的乘积。二、刚体对转轴的角动量定理我们可以将转动定理写成另