第五章向量代数

1教案课时2授课人:唐默第五章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算一、内容要点⒈向量的定义向量是即有大小、又有方向的量.⑴向量的几何表示有向线段﹙与起点无关，称为自由向量﹚.⑵向量的坐标表示：),,(zyxaaaa，其中xa、ya、za为向量a在三个坐标轴上的投影.以),,(0000zyxM为起点、),,(0zyxM为终点的向量),,(0000zzyyxxMM.⑶向量的分解表示kjiazyxaaa，其中)0,0,1(i，)0,1,0(j，)1,0,0(k⒉向量的模与方向余弦设),,(zyxaaaa则向量的模222zyxaaaa方向余弦为aaazyxaaacos,cos,cos.其中、、分别为a与x轴、y轴、z轴正向的夹角﹙称为a的方向角﹚，1coscoscos222⒊向量的加法与数乘运算向量的加法有平行四边形法则和三角形法则.2运算的代数表示：设),,(zyxaaaa,),,,(zyxbbbb则(1)),,(zzyyxxbabababa;(2)).,,(zyxaaaa线性运算律为,abba),()(cbacba,)(babaaa)()(基本定理：设0a，则Rba，使得ab；或设0a),,(zyxaaa),,(zyxbbbb，则a\\zzyyxxabababb.利用数乘,任何向量a可表示为aeaa，其中ae表示与a同方向的单位向量.空间直角坐标系中，三个坐轴上正向的单位向量分别记为kji,,，则),,(zyxaaaa的分解表达式为:kjiazyxaaa.二、数学要求和学习注意点⑴理解空间直角坐标系，理解﹙自由﹚向量的概念及其几何表示和坐标表示；⑵掌握向量的线性运算，了解两个向量平行的条件；⑶理解单位向量、方向角与方向余弦，向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行线性运算的方法。在学习这部分时，要注意掌握向量的几何表示与坐标表示之间的联系；会用向量及其运算﹙引进坐标、或不引进坐标、或两者结合﹚来解某些几何问题.三、释疑解难3⒈设a、b为非零向量，指出它们具有什么几何特征，才能使下列各式成立？⑴baba；⑵baba；⑶baba.答由向量加、减法的平行四边形法则知，当2),(ba，即ab时，⑴式成立，﹙图5–1﹙a﹚﹚，当2),(ba时，⑵式成立﹙图5–1﹙b﹚﹚.由三角形法则知，一般有baba，当且仅当),(ba时，⑶式成立﹙图5–1﹙c﹚﹚.bababbababbabaaa)(a)(b)(c图5-12、下列说法是否正确，为什么？⑴与x、y、z三坐标轴的正向夹角相等的向量，其方向角为)3,3,3(；⑵ji2；⑶如图5–2所示，则力F在向量S上的分力为FcosF.)S答图5-2⑴与三坐标轴的正向夹角相同的向量，其方向角不是3.因为任一向量的三个方向角、、应满足关系式1coscoscos222，当时，有43/1cos1cos32，即3/)3/1arccos(.故⑶的说法是错误的.又因1433cos3cos3cos222，所以，还可看出，三个方向角均为3的向量根本不存在.⑵不正确.不等号是用来比较两个实数的大小的，而向量是既有大小、又有方向的量，方向无所谓大小之分，故在向量之间，没有“大于”、“小于”这样的次序关系，正如复数之间没有大小次序关系一样.如果是比较两个向量的模的大小，则当然是可以的，比如ji2.⑶不正确.F在S上的分力是一个方向和S平行的力﹙向量﹚，而cosF仍是一个与F同方向的力，F在S上分力的正确表示应是SSFeFscoscos，其中SSes表示分力的方向，是S方向的单位向量.四、例题增补例1已知三点Ａ﹙3,2,1﹚,Ｂ﹙1,1,1﹚，Ｃ﹙5,0,0﹚.求⑴ACBCAB,,；⑵ACAB在x轴上的投影及y轴上的分向量；⑶三角形ＡＢＣ是什么三角形.解⑴kjikjiAB22)31()21()1(1;kjikjiBC4)15()10()10(;kjikjiAC22)35()20()1(0.⑵因为kiACAB33，所以ACAB在x轴的投影为3，在y轴上的分向量为j3.⑶因为51841132213)2()1(2222222222BCACAB所以222BCACAB,故三角形ＡＢＣ为等腰直角三角形.例２证明空间四边形相邻各边中点的连线构成平行四边形。证如图5–3，设空间四边形的四个顶点依次为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ；Ｍ、Ｎ、Ｐ、Ｑ分别为AB，BC，CD，DA四边的中点，因此.21,21,21,21ADQDAQDCPCDBBCNCBNABBMAMCPD由于,,DPQDQPBNMBMNNQ故MB,21)(212121ACBCABBCABMNA,21)(212121ACDCADDCADQP图5-3所以QPMN，这就是说，四边形ＭＮＰＱ的一双对边平行且相等，所以ＭＮＰＱ是平行四边形.五、习题解析1、已知点Ａ﹙4,1,2﹚，Ｂ﹙10,3,4﹚，（1）写出线段ＡＢ的中点坐标；（2）写出以线段AB为直径的球面方程.6解⑴记线段ＡＢ中点的坐标为﹙000,,zyx﹚，则72104,2231,3242000zyx，⑵半径11)47()12()23(222r，由2202020)()()(rzzyyxx，得所求球面方程为11)7()2()3(222zyx.注一般定比分点坐标的求法.设点Ｍ﹙zyx,,﹚是线段21MM的分点，且21MMMM，0(,内分点；0，外分点，)1，则分点Ｍ的坐标为,1,1,1212121zzzyyyxxx当1时，Ｍ为21MM的中点.５、已知点Ａ﹙2,1,3﹚，Ｂ﹙4,2,1﹚，Ｃ﹙2,1,1﹚，试求点Ｄ，使得以Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｂ为顶点的四边形为平行四边形.解设平行四边形的4个顶点依次为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，则由于DCAB，设Ｄ),,(zyx，于是),2,1,1()6,3,2(zyx所以,8,2,1zyx即Ｄ﹙8,2,1﹚.同理，若平行四边形的4个顶点分别别依次为Ａ、Ｃ、Ｂ、Ｄ和Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｂ，则由DBAB与BDAC可得Ｄ﹙4,0,5﹚与Ｄ﹙4,4,3﹚.本题有且仅有这三解，而且三种情况下分别以△ＡＢＣ的三条边为平行四边形的对角线，不妨画图试验证之.10、设kjickjibkjia22,2,，试用单位向量cbaeee,,表示向量kji,,.解用消元法解由题设等式组成的方程组，易得7cbaicbakbaj41121125),(41),(31,而cbaecebea3,6,3，于是得cbaeeei431261235，363baeej，cbaeeek434643.8第二节向量的乘法运算一、内容要点⒈数量积﹙点积、内积﹚定义性质夹角ｂ在ａ上的投影。⒉向量的向量积﹙叉积，外积﹚定义：，其中是同时垂直于是同时垂直于ａ，ｂ的单位向量，并且ａ，ｂ，符合右手法则。坐标表达式设，则性质几何意义：⑴等于以ａ，ｂ为边的平行四边形面积；⑵⒊混合积9定义。坐标表达式，设，性质⑴⑵ａ、ｂ、ｃ共面或存在一组不全为0的数，使得。几何意义等于以ａ、ｂ、ｃ为棱的平行六面体的体积。二、数学要求和学习注意点⑴掌握向量的数量积、向量积、混合积运算以及两个向量垂直、平行的条件，了解三个向量共面的条件。⑵掌握用坐标表达式进行向量运算的方法，了解向量的向量积、混合积的几何意义。学习本章节时，必须掌握向量的三种乘积的定义及其在直角坐标系中的计算公式，注意归纳三种乘积的主要应用，特别是这三种乘积的几何意义在空间解析几何中有应用。三、释疑解难⒈下列命题是否成立？为什么？⑴⑵若，则ａ，ｂ，ｃ共面；答⑴不成立。可用反例说明。取，则10但注由⑴知，叉积不满足结合律。⑵当时，等式两端分别与ｃ作数量积，得即故ａ、ｂ、ｃ共面，命题成立。⒉请归纳一下向量的数量积、向量积和混合积在几何中的主要用途。答⑴数量积按定义，，可知数量积与向量的长度和夹角都有关。因此反过来可以利用数量积确定向量的长度及两向量的夹角。又，在直角坐标系中，数量积的计算公式也比较简单，这就更增加了数量积在应用上的方便，特别值得指出的是，由数量积的这个计算公式，可以很容易地将向量积推广到到高维向量空间中去﹙详见线性代数教材﹚。这里仅列举数量积的几何应用的要点：﹙ⅰ﹚求向量的模：；﹙ⅱ﹚求两向量的夹角：当时，11﹙ⅲ﹚求一个向量在另一个向量上的投影；特别地，向量a在直角坐标系中的坐标为﹙ⅳ﹚向量a和b垂直的充分必要条件是a·b＝0，或以下再举一例说明数量积的应用。设，已知向量，令，求。求解本题时，首先注意到，且，即为两两垂直的单位向量。在等式两端与作数量积，即得类似可得于是顺便指出，上式称为从坐标系Ⅰ﹙以为基本单位向量的坐标系﹚到坐标系Ⅱ﹙以、、为基本单位向量的坐标系﹚的坐标变换公式。由于、、是两两垂直的单位向量，因此坐标系Ⅱ也12是空间直角坐标系。两个直角坐标系之间的坐标变换通过数量积很容易计算出来。⑵向量积按定义其中单位向量同时垂直于ａ和ｂ，且ａ、ｂ、ｃ符合右手规则，在直角坐标系中，ａ×ｂ的计算公式是以下列出向量积的几何应用要点：﹙ⅰ﹚求与两个非共线向量ａ、ｂ同时垂直的向量ｓ，可取ｓ＝ａ×ｂ或ｓ＝﹣ａ×ｂ﹙ⅱ﹚求由两个非共线向量ａ、ｂ所确定的平面的法向量ｎ，可取ｎ＝ａ×ｂ﹙ⅲ﹚求以向量ａ、ｂ为邻边的平行四边形的面积﹙ⅳ﹚给定不共线的三点Ａ、Ｂ、Ｃ，则点Ｃ到直线ＡＢ的距离﹙Ⅴ﹚向量ａ与ｂ共线的充分必要条件是ａ×ｂ＝０。⑶混合积＝﹙ａ×ｂ﹚·c在直角坐标系中，的计算公式是13混合积的主要几何应用是：﹙ⅰ﹚向量ａ、ｂ、ｃ共面的充分必要条件是＝０；﹙ⅱ﹚以ａ、ｂ、ｃ为棱的平行六面体积。⒊已知向量ａ，ｂ，ｃ，ｄ，从几何上说明：⑴若ａ，ｂ不平行且ａ，ｂ，ｄ共面时，则存在，，使得⑵若ａ，ｂ，ｃ不共面，则存在，，使得答⑴由于ａ，ｂ不平行，故ａ≠０，ｂ≠０，因此当ｄａ或ｄｂ时，易知结论成立。否则设＝ａ，＝ｂ，＝ｄ过点Ｄ分别作，的平行线，与直线ＯＢ，ＯＡ分别交于，﹙如图５–４﹚，则由于，，故存在，，使得，，，从⑵当ｄ与ａ、ｂ或与ｂ、ｃ或与ｃ、ａ共面时，由⑴可知结论成立，否则设＝ａ，＝ｂ，＝ｃ，＝ｄ，过点Ｄ分别作平面平行平面ＯＡＢ，ＯＢＣ，ＯＣＡ，如图5﹣5得到一个平行六面体，则14由于，，，故存在，，使得，，，从而有注本题的结论说明：在分解向量时，并不一定要分解成相互正交的分向量之和，也可分解成两﹙在平面情形﹚或三个﹙在空间情形﹚相互斜交的分向量之和，这是建立斜坐标系的理论依据。四、例题增补例1设﹙ａ×ｂ﹚·ｃ＝２，求﹙ａ+ｂ﹚×﹙ｂ+ｃ﹚·﹙ｃ+ａ﹚解﹙ａ+ｂ﹚×﹙ｂ+ｃ﹚·﹙ｃ+ａ﹚＝﹙ａ+ｂ﹚×ｂ·﹙ｃ+ａ﹚＋﹙ａ+ｂ﹚×ｃ·ａ＝﹙ａ×ｂ﹚·ｃ+﹙ｂ×ｃ﹚·ａ＝﹙ａ×ｂ﹚·ｃ+﹙ａ×ｂ﹚·ｃ＝４。例２设ａ、ｂ是两个非零向量，且＝１，〈ａ，ｂ〉＝，15求解例３证明向量ｃ＝是表示向量ａ与ｂ夹角平分线方向的向量﹙ａ≠０，ｂ≠０﹚。证设，分别表示与ａ，ｂ同方向的单位向量，则由以、为边所构成的平行四边形为菱形，知其对角线平分顶角，于是这是与ａ、ｂ夹角平行线平行之向量。又其中﹥０，故ｃ是表示ａ与ｂ夹角平分线方向的向量。五、习题解析﹙习题５–２，教材下册第２２页﹚⒈设ａ＝３，，求⑴ａ·ｂ；⑵ａ×ｂ；⑶ｂ；⑷ａ；⑸。16解⑴ａ·ｂ＝３×１＋﹙－１﹚×２+﹙－２﹚×﹙－１﹚＝３⑵ａ×ｂ＝⑶⑷⑸⒎用向量法证明⑴直径对的圆周角是直角；⑵三角形的三条高交于一点。证⑴如图５－６，AB是⊙Ｏ的直径，ｃ是半圆周上AB所对的任意