第五章大数定律与中心极限定理

75第五章大数定律与中心极限定理§5.1大数定律§5.2中心极限定理一、填空题1．设2(),()EXDX，则由切比雪夫不等式有{||3}PX1/9；2．设随机变量12,,,nXXX相互独立同分布，且()iEX，()8iDX，(1,2,,)in，则由切比雪夫不等式有||PX28n.并有估计||4PX112n；3．设随机变量nXXX,,,21相互独立且都服从参数为的泊松分布，则1limniinXnPxn()x；4．设随机变量X和Y的数学期望分别为2和3，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式，{||6}PXY；解：因为()()()220EXYEXEY，cov(.)()()0.5141XYXYDXDY，()()()2cov(.)142(1)3DXYDXDYXY，故由切比雪夫不等式，231{||6}{|()0|6}612PXYPXY.5．设随机变量12,,,nXXX相互独立，都服从参数为2的指数分布，则n时，211nniiYXn依概率收敛于。解：因为11(),(),(1,2,,)24iiEXDXin，所以22111()()()442iiiEXDXEX，故由辛钦大数定律，对0，有2111lim()lim12nnninniPYEYPXn，76即211nniiYXn依概率收敛于21()2iEX.二、选择题1．设随机变量129,,,XXX相互独立同分布，且()1iEX，()1iDX，(1,2,,9)i，令991iiSX，则对任意0，从切比雪夫不等式直接可得（B）（A）921|1|1PS；（B）929|9|1PS；（C）921|9|1PS；（D）921|1|19SP.解：因为99911()()9iiiiESEXEX，99911()()9iiiiDSDXDX，所以由切比雪夫不等式直接可得999922()9|()||9|11DSPSESPS.故答案选B.2．设随机变量X服从正态分布2(,)N，则随的增大，概率{||}PX是（C）（A）单调增大；（B）单调减少；（C）保持不变；（D）增减不定.解：由切比雪夫不等式：22{||}10PX，与无关，故答案取C.3.根据德莫弗–拉普拉斯定理可知（B）（A）二项分布是正态分布的极限分布；（B）正态分布是二项分布的极限分布；（C）二项分布是指数分布的极限分布；（D）二项分布与正态分布没有关系.4．设随机变量X服从正态分布211(,)N，Y服从正态分布222(,)N，且12{||1}{||1}PXPY，则（A）（A）12；（B）12；（C）12；（D）12.解：11221212||||11{||1}{||1}XYPXPYPP1212121111.775．设{}(1)nXn为相互独立的随机变量序列，且都服从参数为的指数分布，则（A）（A）1lim()niinXnPxxn；（B）1lim()niinXnPxxn；（C）1lim()niinXPxxn；（D）1lim()niinXPxxn.其中221()2xxxedx是标准正态分布的分布函数.解：由于{}(1)nXn服从参数为的指数分布，所以211(),()nnEXDX，211(),()nniiiinnEXDX，由中心极限定理，112limlim()nniiiinnnXXnPxPxxnn，故答案取A.三、计算题1.设在每次实验中事件A以概率5.0发生.是否可以用大于0.97的概率确信：在1000次实验中，事件A出现的次数在400与600范围内？解：设X表示1000次试验中A出现的次数，则250)(,500)(),5.0,1000(~XDXEBX，由切比雪夫不等式有2250{400600}{|500|100}10.975100PXPX所以可以用大于0.97的概率确信：在1000次实验中，事件A出现的次数在400与600范围内.2.将一颗骰子连续掷四次，其点数之和记为X，估计概率{1018}PX。解：设iX为掷一次骰子出现的点数，则其分布律为：1234561/61/61/61/61/61/6iXP，所以121()(123456)66iEX，782191()(149162536)66iEX，222912135()()()6612iiiDXEXEX；依题意4173535,()414,()42123iiXXEXDX，所以{1018}{1014141814}PXPX{|14|4}PX235/310.2714.3.设(1,2,,50)iXi是相互独立的随机变量,且服从参数03.0的泊松分布,记501iiZX，利用中心极限定理，求{3}PZ。解：500.033500.0331311(1.5)0.1112500.03500.03ZPZPZP.4．设某部件由10个部分组成，每部分的长度iX为随机变量，1210,,,XXX相互独立同分布，()2iEX毫米，()0.5iDX毫米，若规定总长度为（20±1）毫米是合格产品，求产品合格的概率。解：设总长度为101iiTX，则101()()21020iiETEX，1021()()(0.5)102.5iiDTDX，由林德贝格—列维中心极限定理，知(20,2.5)TN近似，所以合格的概率为：21201920{201201}{21}{19}()()2.52.5PTPTPT12()12(0.63)120.735710.47142.5.5．有100道单项选择题，每个题中有4个备选答案，且其中只有一个答案是正确的，规定选择正确得1分，选择错误得0分，假设无知者对于每一个题都是从4个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，计算他能够超过35分的概率。79解：设iX为选择第i题所得到的分数，由题设，iX服从分布01,(1,2,,100)3/41/4iXiP，另设总得分为X，则12100XXXX，且175~(100,),()25,()44XBEXDX，由德莫弗–拉普拉斯定理25352520351351175/475/475XPXPXP近似，查正态分布表可得3512.1310.98960.0104PX近似.6.（1）一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，系统运行期间每个元件损坏的概率为0.1，又知系统运行至少需要85个元件正常工作，求系统可靠度（即正常工作的概率）；（2）上述系统假如由n个相互独立的元件组成，至少80%的元件正常工作，才能使系统正常运行，问n至少多大才能保证系统可靠度为0.95？解：（1）设X为系统中正常运行完好的元件数，则~(100,0.9),()90,()9XBEXDX，由德莫弗—拉普拉斯定理，9085905{85}1{85}11()0.952399XPXPXP.（2）已知(0.8)0.95PXn，求满足条件的n，其中~(,0.9),()0.9,()0.09XBnEXnDXn，同（1）解法，0.90.80.90.810.81()0.9530.090.09XnnnnPXnPXnPnn，查正态分布表可得：1.65,24.53nn，取25n即可.7.某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。（1）写出X的概率分布；（2）用德莫弗–拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于14户不多于30户的概率的近似值.解：（1）X服从二项分布，参数：100,0.2np，即~(100,0.2)XB，其概率分布为80100100()0.20.8,0,1,,100kkkPXkCk；（2）()20,()(1)16EXnpDXnpp，根据德莫弗–拉普拉斯定理14202030202014301.52.54444XXPXPP(2.5)(1.5)(2.5)[1(1.5)](2.5)(1.5)10.9940.93310.927.8．某运输公司有500辆汽车参加保险，在1年里汽车出事故的概率为0.006，参加保险的汽车每年交保险费800元，若出事故保险公司最多赔偿50000元，试利用中心极限定理计算，保险公司1年赚钱不小于200000元的概率。解：设X为500辆参加保险的汽车中出事故的车辆数，则X服从二项分布(500,0.006)B，由题设，保险公司1年的收益为50080050000YX，故保险公司1年赚钱不小于200000元的概率为{200000}{50080050000200000}{4}PYPXPX，从而由德莫弗－拉普拉斯定理45000.0061{4}0.5790.7195000.0060.9942.982PX.9．某工厂生产的灯泡的平均寿命为2000小时，改进工艺后，平均寿命提高到2250小时，标准差仍为250小时.为鉴定此项新工艺，特规定：任意抽取若干只灯泡，若平均寿命超过2200小时，就可承认此项新工艺.工厂为使此项新工艺通过鉴定的概率不小于0.997，问至少应抽检多少只灯泡？解：设X为改进后的灯泡的寿命，由题设，2()2250,()250EXDX，又设n为使检验通过所需抽取的灯泡数，依题意可建立如下不等式1222000.997nXXXPn，或1222000.003nPXXXn，由林德贝格—列维中心极限定理知，220022500.0035250nnnn，查表可得如下不等式2.7552.7513.751895nnn，81即需随机抽取189只灯泡进行寿命检验，测得的平均寿命才能以95%的概率保证超过2200小时.10．设随机变量序列12,,,,nXXX要互独立同分布，且0nEX，求1limniniPXn。解：设11niiXXn，由题设，11()()0niiEXEXn，从而111limlim1lim1lim()1nniinnnniiPXnPXPXPXEXn，即1limlim()1ninniPXnPXEX，由切比雪夫大数定律，知对10，有1limlim()11ninniPXnP