第五章奇数与偶数

1第五章奇数与偶数知识对接1.奇偶数我们把自然数能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数，一切整数不是奇数就是偶数。2．疑难点（1）运用奇偶性来判断。（2）根据奇偶性进行计算。3竞赛拓展奇数＋奇数=偶数奇数＋偶数=奇数偶数＋偶数=偶数偶数－偶数=偶数奇数－偶数=奇数偶数－奇数=奇数奇数－奇数=偶数奇数×奇数=奇数奇数×偶数=偶数偶数×偶数=偶数偶数÷奇数=偶数奇数÷奇数=奇数偶数÷偶数=偶数或奇数思维对接一．奇偶数的判断整数可以分为奇数和偶数两大类，做奇偶数的判断题，可以利用它们的定义，此外也需要灵活运用奇偶数的运算性质。例1．按要求将下面的数分类11,32,46,57,94,587,693,276,548,1532（1）属于奇数的有；（2）属于偶数的有；思路点拨：能被2整除的是偶数，不能的则是奇数。解答：（1）属于奇数的有11,57,587,693（2）属于偶数的有32,46,94.276,548,1532【跟踪练习1】按要求将下面的数分类44,67,83,94,846,512,773,1643,1842（1）属于奇数的有；（2）属于偶数的有；例2今有一队小朋友，球场上共三种球，每人都拿着一个球，如果其中拿篮球的比拿排球的多1人，而拿排球的又比拿足球的多1人，设拿足球的人数是奇数，那么这队小朋友的人数是奇数还是偶数？思路点拨：因为拿排球的人数比拿足球的人数多1人，所以拿排球的人数=奇数+1=偶数，又因为拿篮球的人数比拿排球的人数多1人，所以拿篮球的人数=偶数+1=奇数，从而知道这队小朋友的人数为偶数。解答：奇数+偶数+奇数=偶数答：这队小朋友的人数为偶数。【跟踪练习2】100个箱子，分装到9只船上，要使在每只船上都装奇数个箱子，能否办2到？为什么？例3新年前夕，同学们相互送贺年卡，每人只要接到别人赠的贺年卡就一定要回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数还是偶数？为什么？思路点拨：由于是互送贺年卡，所以贺年卡的总张数一定能被2整除，即贺年卡的总张数应是偶数。将贺年卡的人分成两类：一类是送了偶数张贺年卡的人，他们送出的贺年卡总和是偶数。因为若干个偶数的和是偶数；另一类是送了奇数张贺年卡的人。他们送的贺年卡总数=总张数－送偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数=偶数－偶数=偶数。只有偶数个奇数相加，其结果才能是偶数，所以送了奇数张贺年卡的人数是偶数。解答：送了奇数张贺年卡的人数是偶数。【跟踪练习3】阅览室的教室是9行9列，坐满了学生。现在做一项游戏，当铃声响后，每个同学都要与自己前后或左右相邻的某个同交换一次座位，问这项游戏能实现吗？说明道理。二．奇偶数的计算这类题一般是关于奇偶数个数的问题，解题时要弄清题意，找出规律，再结合奇偶数的运算性质求解。例4从公元1年到公元2年，公元3······000年。在这些年份当中，有多少个奇数年？有多少个偶数？思路点拨：我们把这些年份按顺序排成一列数：1,2,3,4,5,6，······，1999,2000.可以发现：这些数，奇数、偶数先后依次交替出现，最先是奇数，最后是偶数，可见奇数和偶数一样多，而奇数和偶数一共有2000个，所以答案就显而易见了。解答：因为奇数年份和偶数年份一样多，它们一共有2000个，所以，奇数年份和偶数年份各有：2000÷2=1000（个）答奇数年份1000个，偶数年份1000个。【跟踪练习4】用数字1、3、0可以组成多少个奇数和偶数？例5、有一列数1,1,1,3,5,8,13,21,34,55，·······，从第个数开始，每个数都是前两个数的和。那么在前1000个数中，有多少个奇数？思路点拨：根据“奇数＋奇数=偶数，奇数＋偶数=奇数及第一、第二个数都是奇数，按照这列数的组成规律知，各数的奇偶性依次为：奇奇偶奇奇偶奇奇偶······即每三个数为一组，其中前两个数是数，后一个数是偶数。1000÷3=333······1所以1000个数中有偶数333个，有奇数1000－333=667(个)解答:1000÷3=333······1,1000－333=667（个）答：在前1000个数中有667个奇数。【跟踪练习5】101个数排成一行：0,1,3,8,21，······，除了两头的两个数以外，每个数的33倍等于它两边的两个数的和，这101个数中有多少个奇数?三、利用奇偶数解答疑难问题当我们在分析解答问题时，如果感觉到该数学问题与数的大小无关，或关系不大时，要想到利用数的奇偶性进行分析。例6、十二张扑克牌，2点，10点，各4张。能从中选出7张牌，使其上面点数之和等于52吗？说明理由。思路点拨：由于各牌点数分别为以下三种情况：2=2×1；6=2×3；10=2×5.从12张牌中任取七张牌的点数之和为：2乘7个奇数之和。因为7个奇数之和仍为奇数，故它等于一个奇数的2倍，而52=2×26，是一个偶数的2倍。解答：因为一个奇数的2倍不可能等于一个偶数的2倍，所以不能选出。【跟踪练习6】一条公路上，从起点起，每隔1米种1棵树，如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在3棵树上，那么不管怎么挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距离是偶数（以米为单位）。这是为什么？小学竞赛突破例7今有6只杯口全朝上的杯子，每次将其中的4只同时翻转，问能不能经过这样有限多次的翻转，使杯口全部朝下？为什么？思路点拨：为了更好的理解，我们画图表分析。用↑表示杯口向上，↓表示杯口向下，那么按照下表的方法，每次翻转四只杯子，经过3次这样的翻转后，就可以使6只杯子的杯口全部向下。杯子号123456开始状态↑↑↑↑↑↑1次翻转↓↓↓↓↑↑2次翻转↓↑↑↑↓↑3次翻转↓↓↓↓↓↓解答:根据上表，我们分析从纵的方向看，第1只杯子翻转了一次，6只杯子翻转的次数分别为1,3，3,3,1,1，所以6只杯子翻转次数的总和为1+3+3+3+1+1=12(次)是个偶数；从横的方向看，每次同时翻转4只杯子，三次翻转总共翻转3×4=12（次）也是偶数【跟踪练习7】在图中的每个○中填入一个自然数（可以相同），使得任意两个相邻的○中的数之差（大数减小数）恰好等于它们之间所标的数。能否办到？为什么？例8、1111111111和9999999999的乘积中有多少个数字为奇数？思路点拨：这种类型的题，如求出乘积，奇数字个数自然可以数出，然而这样大的数，直接求出乘积，比较困难。我们还是用进退思维方法来思考。奇数字个数解答：1×9=9111×99=10892111×999=11088931111×9999=1110888944从这结果似乎看出有某种规律，这规律不会随着两个因数位置的变化而改变。因此我们可以猜想，因数中数字1或9的个数，就是乘积中奇数的个数，检验一下：11111×99999=1088889，由以上分析，得1111111111×9999999999的乘积中有10个奇数。答：1111111111和9999999999的乘积中有10个数字为奇数。【跟踪练习8】任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数。试证新数与原数之和不能等于999.例9、五（二）班部分学生参加镇里举办的数学竞赛，每张试卷有50道题。评分标准是：答对一题给3分，不答的题每道给1分，答错一题扣1分，试问：这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？思路点拨：本题要求出这部分学生的总成绩是不可能的，所以应从每个人得分的情况入手分析。解答：因为每道题无论答对、不答或答错，得分或扣分都是奇数，共有50道题，50个奇数相加减，结果是偶数，所以每个人的得分都是偶数。因为任意个偶数之和是偶数，所以这部分学生的总分必是偶数。【跟踪练习9】某班学生毕业后相约彼此通信，每两个人之间的通信量相等，即甲给乙写几封信，乙也要给甲写几封信。问：写了奇数封信的毕业生人数是奇数还是偶数？能力对接80分钟演练1、五哥自然数相加的和是10000000，这五哥数中奇数最多有（）A9B5C4D不能确定2、用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中偶数有（）Ａ４６Ｂ４８Ｃ５０Ｄ５２３、能否从四个3、三个5、两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22？4、在一次校友聚会上，久别重逢的老同学互相频频握手，请问：握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？请说明理由。5、如果十个互不相同的两位奇数之和等于898，那么，这十个数中最小的一个是多少？6、如果两个人互相握手，那么每个人都握了一次手。问：握了奇数次手的人的总数是奇数还是偶数？7、有6个学生都面向北方站成一行，每喊一次口令只能5人向后转，则最少喊多少次口令，才能使这6个学生都面向南方？58、7个相邻的奇数和是147，求这7个数。9、有12张卡片，其中有三张上面写着1,三张上写着3,三张上写着5，三张上写着7.问：能否从中选出五张使它们上面的数字之和为20，为什么？10、37筐水果，由5只小船运过河去，要求每只小船上装偶数筐水果，同学们想一想是否可能？11、在下面的一列数中，1,9,9,9,8,5,1,3,7,6，········从第五个数起，均为它前面相邻4个数之和的个位数，那么，在这列数中能否出现相邻的4个数字：2,0,0,0？100分钟演练12、将1~100这100个自然数任意排成一排，在这些相邻的三个数之和中，至少有——个奇数，至多有——个奇数。13、五年级全年级共有学生300名，现在选派一位同学去观看文艺会演。挑选的方法是：先把300名同学排成一排，由第一名开始报数，报奇数的同学落选退出队列，报偶数的同学站在原位置上不动，再报数，如此继续下去最后剩下的一名同学便是观看会演的人选。丁丁非常想去，那么让丁丁站在什么位置上能被选中？14、在5×5的小方格纸中，每一个小方格中都有一只蚂蚁，现在要求每只蚂蚁都爬到相邻格(有公共边的格子)中去，使得每只蚂蚁都有一个小方格，能否做到，为什么？15、围棋子只有黑色和白色，桌上摆着五堆围棋子，每堆的棋子数是任意堆放得的。请你说明：总可以找到其中的两堆，使得这两堆的白棋子数和黑棋子数都可以平均分给两人。16、一组黑白相间的方格纸，用记号（2,3）表示从上往下数第二行，从左往右数第3列的这一格，如图，问（19,93）这一格是黑色还是白色？17、红星影院有1999个座位，上、下午各放映一场电影，有两所学校各有1999名学生包场看这两场电影，那么一定有这样的座位，上、下午在这个座位上坐得是两所不同学校的学生，为什么？6第五章答案跟踪练习1解(1)属于奇数的有67,83,773,1643（2）属于偶数的有44,94,846,512,1842跟踪练习2要使9只船上装有奇数个箱子，则9只船上箱子的和为9个奇数的和仍为奇数，而箱子总数为100，是偶数，因此这样的装法是不可能实现的。跟踪练习3解:假定阅览室的座位被黑白相间的图上颜色。则同色前后左右不相邻，座位共9×9=81，假定其中40个座位是白色，41个座位是黑色，40是偶数，41是奇数，这两种颜色座位的个数奇偶性都不同，因此这次交换座位黑色换成白色是无法实现的。跟踪练习4偶数有：0,10,30,130,310共5个奇数有：1,3,31,13,103,301共6个跟踪练习5解：这101个数中前面的一些数是：0,1,3,8,21,55,144,377,987,2584······偶奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇奇偶····依次不断重复出现，周期是3,101÷3=33····2可分成33组，每组中有2个奇数，最后余下的2个数中正好是1个偶数，1个奇数，因此这列数共有奇数的个数是33×2+1=67(个)答：这101个数中有67个奇数。跟踪练习6解:根据种植要求可知每棵数与起点的距离为1米，2米，3米····这样按他们各自与起点的编号为1,2,3····于是，这两棵树德距离就是这两棵树的号码之差，挂牌的3棵树的编号只有①三个数都是奇数，②两个奇数一个偶数，③三个都是偶数，④两个偶数一个奇数，根据奇偶性奇-奇=偶，偶-偶=偶。答至少有两棵挂牌树之间的距离数是偶数。跟踪练习7解：假定图中5与1之间的○中的数是奇数，按顺时针加上或减去标出的数字，依次得到各个○中的数的奇偶性如下，奇±1→偶±2→偶±