第五章数理统计

第五章大数定律与中心极限定理一、典型题解例1设随机变量X的数学期望2,3EXuDXXu方差，求P的大小区间。解令3，则有切比雪夫不等式有：22221,339DXPXEXPXEX有例2在n次独立试验中，设事件A在第i次试验中发生的概率为1,2,....ipin试证明：A发生的频率稳定于概率的平均值。证设X表示n次试验中A发生的次数，引入新的随机变量0iAXA1,发生，不发生12,...in，，则X服从01分布，故,1iiiiiiiEXpDXpppq，又因为224140iiiiiiiipqpqpqpq，所以11,2,...4iiiDXpqin由切比雪夫大数定理，对,o有11lim1niinipXEXn即11lim1niniXppnn例3对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长，1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为。若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。（1）求参加会议的家长数X超过450的概率；（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。解（1）以400,,2,1kXk记第k个学生来参加会议的家长数，则kX的分布律为kX012kP0.050.80.15易知19.0,1.1kkXDXE，1,2,...400.k而4001kkXX.由独立同分布中心极限定理知，随机变量19.04001.140019.04001.14004001XXkk近似服从正态分布0,1N，于是4001.14504001.14001.145011.1474000.194000.194000.1911.1470.1357XXPXPP（2）以Y记有一名家长来参加会议的学生数，则(400,0.8)YB，由德莫佛—拉普拉斯定理得3404000.83404000.84000.80.24000.80.24000.82.54000.80.22.50.9938.PYYPYP例4一加法器同时收到20个噪声电压20,,2,1kVk，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0,10)上服从均匀分布。记201kkVV，求105PV的近似值。解易知)20,,2,1(12100,5kVDVEkk，由独立同分布中心极限定理，随机变量20121005202012100520201VVZkk近似服从正态分布0,1N，于是2038722051052051001050.387101220101220101220100110.387110.3870.348.2101220tVVPVPPVPedt即有1050.348.PV例5一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于03的概率为13p，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500～30500次纵摇角度大于03的概率是多少？解我们将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次试验，并假定各次试验是独立的。在90000次波浪冲击中纵摇角度大于03的次数记为X，则X是一个随机变量，且有1(90000,)3XB。其分布律为900009000012,0,1,,90000.33kkkPXkCk所求的概率为90000305009000029500122950030500.33kkkkPXC要直接计算是麻烦的，我们利用德莫佛—拉普拉斯定理来求它的近似值。即有230500122950012950030500295003050011113050029500.211nptnppnpnppnpXnpnpPXPnppnppnppnpnpedtnppnpp其中190000,3np。即有295003050052252/20.9995PX.例6设在某中重复独立试验中，每次试验事件A发生的概率为14，问能以0.9997的概率保证在1000次试验中A发生的频率与14相差多少？此时A发生的次数在哪个范围之内？解设An为n重伯努利试验中事件A发生的次数，p是在各次试验中事件A发生的概率。则,AnBnp，当n很大时，由德莫佛—拉普拉斯定理，有An近似服从,1,Nnpnpp从而AAnpppnpnnnpnn111Annpnnpnppnppnpp21111nnnppnppnpp从而由题设11000,,0.99974np，而要求0.9997.Anppn中的由于210.99971Annppnpp，故0.99991npp查表得10.250.753.62,3.623.620.049611000ppnppn故。四、练习题配置1.设随机变量X的数学期望()10EX，方差()0.04DX，利用切比雪夫不等式估计9.211PX的大小。2.设电路共电网中内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7，假设各灯的开关彼此独立，计算同时开着的灯数在6800与7200之间的概率。3.生产灯泡12,,,,nXXXLL的合格率为0.6，求10000个灯泡中合格灯泡数在5800～6200的概率。4.某心里学家要研究一群孩子智商的平均值m，他用11niiXXn作为m的估计，用12,,,nXXXL分别表示对这n个孩子智商测试的结果。若(),iEXm=()263.66iDX=，1,2,,in=L为使X对m的估计误差不超过5的概率不低于0.95，问他至少要测试多少个孩子？5.设有30个电子器件，它们的使用寿命1230,,TTTL服从参数为0.1λ=[单位：(小时)1-]的指数分布。其使用规则是第一个损坏时立即使用第二个，第二个损坏时立即使用第三个等等。令T为30个器件使用的总时间，求T超过350小时的概率。6.设某车间有400台同类型的机器，每台机器开动时需要15单位的电能，根据产品的需求，每台机器开动时间是总时间的3/4。假定各机器的开动是相互独立的。问至少供应多少单位的电能才能以不低于99.9%的把握保证不致因供电不足而影响生产。7.一复杂的系统由n个相互独立起作用的部件组成，每个部件的可靠性为0.90，且必须至少有85%的部件工作才能使整个系统正常工作，问n至少为多大才能使系统的可靠性不低于0.95？8.某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望（未知），方差2400s为了估计，随机地取几只这种器件，在时刻t=0投入测试（设测试是相互独立的）直到失败，测得其寿命12,,,,nXXX以作为的估计，为使问n至少为多少？