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章末总结要点一小船渡河和牵连速度问题的分析1．小船渡河过程中，随水漂流和划行这两个分运动互不干扰，各自独立而且具有等时性．因此只要分运动时间最短，则合运动时间最短，即船头垂直指向对岸渡河时间最短，tmin＝dv船.航程最短，则要求合位移最小．当v水v船时，合运动的速度可垂直于河岸，最短航程为河宽．当v水v船时，船不能垂直到达河岸，但仍存在最短航程，当v船与v合垂直时，航程最短，xmin＝v水v船d.2．跨过定滑轮拉绳(或绳拉物体)运动的速度分解物体运动的速度为合速度v，物体速度v在沿绳方向的分速度v1就是使绳子拉长或缩短的速度，物体速度v的另一个分速度v2就是使绳子摆动的速度，它一定和v1垂直．要点二抛体运动的规律及应用1．平抛运动的研究方法及其规律(1)研究方法：根据运动的合成与分解，可将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动来进行研究．(2)平抛运动规律①图5－1位移：若以初速度v0水平抛出，以抛出点为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，如图5－1所示，则经时间t的位移为x＝v0tay＝12gt2b时间t内物体的位移为s＝x2＋y2＝v0t2＋12gt22tanθ＝yx＝gt2v0②速度vx＝v0vy＝gt某点的瞬时速度为v＝v2x＋v2y＝v20＋g2t2tanα＝vyvx＝gtv0③平抛运动轨迹是抛物线由(a)(b)两式消去t得y＝g2v20x2④飞行时间由(b)式得t＝2yg＝2hg物体做平抛运动的飞行时间t仅由抛出点的高度h决定，与抛出时的初速度v0无关．⑤水平位移x＝v0t＝v02hg物体做平抛运动的水平位移x由v0和高度h共同决定．在h一定时，x仅由v0决定．⑥速度变化量：Δv＝gΔt.图5－2平抛运动的物体在任意一段时间内的速度变化量方向竖直向下，其中v0、Δv、v三个矢量经过平移可构成直角三角形，如图5－2所示．[来源:学科网ZXXK]⑦平抛运动速度偏向角与位移偏向角的关系位移偏向角θ：tanθ＝yx＝gt2v0速度偏向角α：tanα＝vyvx＝gtv0所以tanα＝2tanθ2．抛体运动规律的比较内容运动形式项目平抛运动斜抛运动定义将物体以一定的水平初速度抛出，物体只在重力作用下的运动将物体以倾斜的初速度抛出，物体只在重力作用下的运动分运动及规律(1)水平方向：物体做匀速直线运动，vx＝v0，x＝v0t(2)竖直方向：初速度为零，物体做自由落体运动vy＝gt，y＝gt22v合＝v2x＋v2ytanα＝vyv0＝gtv0位移l＝x2＋y2tanθ＝yx＝gt2v0(1)水平方向：物体做匀速直线运动vx＝v0cosαx＝v0tcosα(2)竖直方向：初速度不为零，物体做匀变速直线运动vy＝v0sinα±gty＝v0tsinα±gt22v合＝v2x＋v2y运动轨迹由x＝v0t，y＝gt22消去t得y＝gx22v20，因g和v0为常数，所以轨迹为抛物线轨迹也是抛物线要点三圆周运动问题的分析1．圆周运动的运动学分析(1)正确理解描述圆周运动的快慢的物理量及其相互关系线速度、角速度、周期和转速都可描述圆周运动的快慢，但意义不同．线速度描述做圆周运动的物体沿圆周运动的快慢．若比较两物体沿圆周运动的快慢，则只看线速度大小即可；而角速度、周期和转速描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢，由ω＝2πT＝2πn可知，ω越大，T越小，n越大，则物体转动得越快，反之则越慢．三个物理量知其中一个，另两个也就成为已知量．(2)对公式v＝rω及an＝v2r＝rω2的理解①由v＝rω知，r一定时，v与ω成正比；ω一定时，v与r成正比；v一定时，ω与r成反比．②由an＝v2r＝rω2知，在v一定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比．2．正交分解法处理圆周运动的受力解决圆周运动问题的关键是正确地对物体进行受力分析，搞清向心力来源．由于做圆周运动的物体，其受力并不一定在它的运动平面上，所以在对物体进行受力分析时往往要进行正交分解．对圆周运动进行分析时，建立的坐标系不是恒定不变的，而是在每一个瞬间建立坐标系．(1)匀速圆周运动：采用正交分解法，其坐标原点是做圆周运动的物体(视为质点)，相互垂直的两个坐标轴中，一定有一个坐标轴的正方向沿着半径指向圆心．说明若做匀速圆周运动的物体仅受两个力的作用，也可用直接合成法确定向心力，合力一定指向圆心．(2)变速圆周运动：采用正交分解法，有一个坐标轴的正方向沿着半径指向圆心．加速度沿半径方向的分量an(指向圆心)即为向心加速度，其大小为an＝v2r＝rω2；加速度沿轨迹切线方向的分量at即为切向加速度．合力沿半径方向的分量Fn(或所有外力沿半径方向分力的矢量和)提供向心力，其作用是改变速度的方向；其大小为：Fn＝mv2r＝mω2r.合力沿切线方向的分力Ft(或所有外力沿切线方向的分力的矢量和)使物体产生切向加速度，其作用是改变速度的大小，其大小为Ft＝mat.3．处理匀速圆周运动问题的基本步骤(1)确定做匀速圆周运动的物体作为研究对象．(2)确定圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径．(3)对研究对象进行受力分析，作出受力示意图．(4)运用平行四边形定则或正交分解法求出向心力Fn.(5)根据向心力Fn＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r，选择其中一种公式列方程求解．4．临界问题的分析(1)当物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态，通常叫做临界状态，出现临界状态时，既可理解为“恰好出现”，也可理解为“恰好不出现”．(2)解决临界问题的常用方法①极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象显露，达到尽快求解的目的．②假设法：有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题．(3)关于临界问题总是出现在变速圆周运动中，而竖直平面内的圆周运动是最典型的变速圆周运动．在竖直平面内的圆周运动一般不是匀速圆周运动，但物体经最高点或最低点时，所受的重力与其他力的合力指向圆心，提供向心力．①图5－3用绳子系物体或物体沿轨道内侧运动(如图5－3所示)此种情况下，如果物体恰能通过最高点，即绳子的拉力或轨道对物体的支持力等于零，只有重力提供向心力，即mg＝mv20R，得临界速度v0＝gR.当物体的速度大于v0时，才能经过最高点．②用杆固定物体在竖直平面内做圆周运动此种情况下，由于物体所受的重力可以由杆给它的向上的支持力来平衡，所以在最高点时的速度可以为零．当物体在最高点的速度v≥0时，物体就可以完成一个完整的圆周运动.一、速度的分解例1如图5－4所示，图5－4在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v运动．当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？解析绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v物是合速度，将v物按右图所示进行分解．其中v＝v物cosθ，使绳子收缩．v⊥＝v物sinθ，使绳子绕定滑轮上的A点转动．所以v物＝vcosθ.答案vcosθ方法总结分析绳、杆等有长度的物体，其两端点的速度联系，关键是找准合运动与分运动.二、平抛运动的规律应用例2小球从空中以某一初速度水平抛出，落地前1s时刻，速度方向与水平方向夹角为30°，落地时速度方向与水平方向夹角为60°，g取10m/s2.求小球在空中的运动时间及抛出的初速度．解析如右图所示，作出平抛运动轨迹上该两时刻的速度分解图，设小球初速度为v0，其在空中的运动时间为t，则由图示直角三角形关系得tan30°＝gt－1v0，tan60°＝gtv0，将有关数字代入即可求得t＝1.5s，v0＝53m/s.答案1.5s53m/s方法总结处理平抛运动的基本方法就是化曲为直，要画出运动的示意图，依据平行四边形定则和几何关系求解.三、圆周运动的临界问题例3在光滑平面中，图5－5有一转动轴垂直于此平面，交点O的上方h处固定一细绳的一端，绳的另一端固定一质量为m的小球B，绳长AB＝lh，小球可随转动轴转动并在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图5－5所示，要使球不离开水平面，转动轴的转速的最大值是()A.12πghB．πghC.12πglD．2πlg解析如右图所示，以小球为研究对象，小球受三个力的作用，重力mg、水平面支持力FN、绳子拉力F.在竖直方向合力为零，在水平方向所需向心力为mv2R，而R＝htanθ，得Fcosθ＋FN＝mgFsinθ＝mv2R＝mω2R＝m4π2n2R＝m4π2n2htanθ当球即将离开水平面时，FN＝0，转速n有最大值．FN＝mg－m4π2n2h＝0n＝12πgh，故选A.答案A方法总结1．分析圆周运动的思路，即动力学思路，关键是受力分析，明确F向来源，应用F向＝mv2r等公式求解．2．分析临界问题一般是令某量达到极值，寻找临界条件，以临界条件作为突破口.章末检测(时间：90分钟，满分：100分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内()A．速度一定在不断地改变，加速度也一定不断地改变B．速度一定在不断地改变，加速度可以不变C．速度可以不变，加速度一定不断地改变D．速度可以不变，加速度也可以不变[来源:学+科+网]答案B解析曲线运动的速度方向一定发生改变，所以速度一定在不断改变，但是其加速度可以保持不变．2．一条小船的静水速度为6m/s，要渡过宽度为60m，水流速度为10m/s的河流，现假设水面各点水的流速是相同的．则下列说法正确的是()A．小船渡河的最短时间为6sB．小船渡河的最短时间为10sC．小船渡河的最短路程为60mD．小船渡河的最短路程为100m答案BD解析渡河的最短时间是船头垂直河岸渡河时的时间，即tmin＝dv1＝10s，故A错而B对；水流速v2、船速v1和实际航行速度v组成闭合矢量三角形，如右图所示．当v1v2时，则当v1⊥v时，航程最短，因此有θ＝arcsinv1v2，x＝dsinθ＝v2v1d＝100m.3．火车在转弯时，受向心力的作用，对其所受向心力的分析，正确的是()A．由于火车本身作用而产生了向心力B．主要是由于内、外轨的高度差的作用，车身略有倾斜，车身所受重力的分力产生了向心力C．火车在转弯时的速率小于规定速率时，内轨将给火车侧压力，侧压力就是向心力D．火车在转弯时的速率大于规定速率时，外轨将给火车侧压力，侧压力作为火车转弯时向心力的一部分答案D解析火车正常转弯时，重力和支持力的合力提供向心力，故A、B错；转弯速率大于(或小于)标准速率时，外轨(或内轨)有侧压力作用，此时火车受重力、支持力、侧压力的作用，三力合力提供向心力．4．如图1所示，图1一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时，由于球对杆有作用力，使杆发生了微小形变，关于杆的形变量与球在最高点时的速度大小关系，正确的是()A．形变量越大，速度一定越大B．形变量越大，速度一定越小C．形变量为零，速度一定不为零D．速度为零，可能无形变答案C解析在最高点杆对小球的弹力可能向上，可能向下，由FT＋mg＝mv2R，分析得A、B不对．当FT＝0时，mg＝mv2R，故v≠0，所以C项正确．当v＝0时，FT＝mg且FT向上，故D错误．5．一个物体在多个力的作用下，处于平衡状态．现将其中一个力F1撤去，关于物体的运动状态的说法正确的是()A．物体将一定沿与F1相反的方向做初速度为零的匀加速直线运动B．物体将一定沿与F1相反的方向做有一定初速度的匀加速直线运动C．物体可能将沿与F1相反的方向做匀加速曲线运动D．物体可能将沿与F1相反的方向做变加速曲线运动答案C6.图2一圆盘可绕通过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放置一小木块A，它随圆盘一起做减速圆周运动，如图2所示，则关于木块A的受力，下列说法正确的是()A．木块A受重力、支持力和向心力B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦