第五章特征值和特征向量

1第五章特征值和特征向量I考试大纲要求1、考试内容：矩阵的特征值和特征向量的概念、性质、计算方法和相似变换；矩阵的相似关系及性质；矩阵可对角化的判别及相似对角矩阵；实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。2、考试要求：1）理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，并会计算矩阵的特征值和特征向量。2）理解相似的概念、性质及矩阵可对角化的充要条件，掌握用相似变换化矩阵为对角矩阵的方法。3）掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。II重要知识点一、矩阵的特征值和特征向量1、基本概念设A是数域P上的n阶矩阵，如果对于数P，存在非零n维列向量，使得A，则称为A的一个特征值，称为A的属于特征值的特征向量。矩阵A有特征向量等价于OxAE)(有非零解，而OxAE)(有非零解数的充要条件是0AE，故把行列式AE称为称为A的特征多项式，方程0AE称为A的特征方程，矩阵)(AEnnnnnnaaaaaaaaa212222111211称为A的特征矩阵。设nnijaA)(为n阶矩阵，A的主对角线元素的和为矩阵A的迹，记为)(Atr。即niiinnaaaaAtr12211)(。迹的性质：21）)()()(BtrAtrBAtr；2）)()(AktrkAtr；3）)()(AtrAtrT；4）)()(BAtrABtr。2、特征值与特征向量的求法设nnijaA)(为n阶矩阵，下列步骤求A的特征值与特征向量．1）计算A的特征多项式AE；2）求出特征方程0AE的全部根，即得到A的所有特征值。3）对于每个特征值，求解齐次线性方程组OxAE)(，即0)(0)(0)(221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa若求得其基础解系为1，2，…，s，则k11+k22+…+kss(k1，k2，…，ks不全为零)为A的属于特征值的所有特征向量。3、特征值与特征向量的性质1）n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值。2）如果1，2，…，m是A的不同特征值，1，2，…，m分别是属于1，2，…，m的特征向量，则1，2，…，m线性无关。3）设矩阵在复数域上的特征值为1，2，…，n，则tr(A)=1+2+…+n=a11+a22+…+ann，12…m=|A|。4）设是方阵A的特征值，矩阵*12),0(,,,,AAAAbEaAAkAm，()fA分别有特征值)0(),0(1,,,,2Abakm，()f。5）设A=(aij)nn的秩1)(Ar，则矩阵A的n个特征值为1=a11+a22+…+ann，2＝…＝n＝0。3二、相似矩阵、对称矩阵及矩阵的对角化1、相似矩阵的基本概念及性质1）相似矩阵：设n阶矩阵A和B．如果存在可逆矩阵P，使得B=P-1AP，则称A和B相似．记作A~B。2）相似矩阵的基本性质①反身性：A~A；对称性：如A~B，则B~A；传递性：如A~B，且B~C，则A~C。②若A~B，则|A|=|B|。③若A~B，则A，B同时可逆或不可逆。④若A~B，且A，B可逆，则A-1~B-1。⑤若A~B，则|E-A|=|E-B|。⑥若A~B，则A，B的特征值相同。⑦若A~B，则tr(A)=tr(B)。⑧若A~B，则其秩相等r(A)=r(B)。2、n阶矩阵A与对角矩阵相似的条件1）A与对角矩阵相似的充分条件是A有n个互不相同的特征值。2）A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。3）n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对每一个ni重特征值i∈P，矩阵iE–A的秩是n–ni。3、求与n阶矩阵相似的对角矩阵的方法41）设n阶矩阵A有n个单重特征值1，2，…，n，则A~n21如Ai=ii),,2,1(ni，令P=[1，2，…，n]，则P-1AP=n21。2）设n阶矩阵A有m个特征值1，2，…，m，其重数分别为k1，k2，…，km，nkmii1，且对于每个特征值i都有ki个属于i的线性无关的特征向量，则A~mm2211=如At(i)=it(i)，t=1，2，…，ki，i=1，2，…，m，令矩阵P=[)()(1)2()2(1)1()1(1,,,,,,21mkmkkm]，则P-1AP=。4、实对称矩阵的对角化1）实对称矩阵特征值与特征向量的特殊性质①实对称矩阵的特征值都是实数。②实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交。③实对称矩阵的k重特征值恰好有k个属于此特征值的线性无关实特征向量。④对于实对称矩阵A必存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ为对角矩阵。2）求正交矩阵Q，使Q-1AQ为对角矩阵的方法①解特征方程|E-A|=0，求出A的全部特征值。k1个k2个km个5②解齐次线性方程组(E-A)X=0，求出基础解系，得到r重特征值的r个线性无关的特征向量。③利用施密特正交化方法，使得属于r重特征值的r个线性无关向量组正交化，并使其单位化。④将求得的n个单位化正交特征向量组作为矩阵Q的列向量，从而得到所需的正交矩阵Q。⑤Q-1AQ为对角矩阵，其对角元素为A的全部实特征值，它们在对角矩阵的排列顺序，与其特征向量在Q中的排列顺序一致。5、重要结论1）若A～B，C～D，则COOA～DOOB。2）若A～B，则)(Af～)(Bf，)()(BfAf，其中)(Af为关于n阶方阵A的多项式。3）若A为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数（重根重复计算）等于A的秩。III题型归纳及思路提示题型1求矩阵的特征值和特征向量例1设2是可逆矩阵A的特征值，则矩阵12)51(A有一特征值为例2设466353331A，试求A和12AE的特征值及A的特征向量。例3设Tnaaa),,,(21，Tnbbb),,,(21都是非零向量，且0T，6记n阶矩阵TA，试求A的特征值及特征向量。例4设21,是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,，则)(,211A线性无关的充要条件是1）01；2）02；3）01；4）02。例5设n阶矩阵111bbbbbbA，1）求A的特征值和特征向量；2）求可逆矩阵P，使得APP1为对角矩阵。题型2特征值、特征向量的逆问题例6已知111是矩阵2135212baA的一个特征向量，试确定参数ba,及特征向量所对应的特征值，并问A能否对角化？例7已知三阶矩阵A满足)3,2,1(iiAii，其中T)2,2,1(1，7T)1,2,2(2，T)2,1,2(3，求矩阵A。例8设矩阵acbcaA01351，其行列式1A，又A的伴随矩阵*A有一个特征值，属于的一个特征向量T)1,1,1(，求参数cba,,和的值。题型3有关特征值与特征向量的证明题例9设A为正交矩阵，若1A，求证A一定有特征值－1。例10设BA,都是n阶矩阵，证明：1）AB与BA有相同的特征值；2）)()(BAtrABtr。例11设n阶矩阵A满足225AAEO，证明：对任意实数k，AkE可逆。题型4相似的判定及其逆问题例12设有三阶矩阵010100002A和260010001B，试判断BA,是否相似？若相似，求出可逆矩阵P，使得APPB1。8例13设矩阵A与B相似，其中11322002xA，yB00020001，1）求x和y的值；2）求可逆矩阵P，使得APPB1。题型5与方阵的对角化相关的命题例14设aaaA225410201，问A能否对角化。例15设n阶矩阵A满足OEAA232，证明A相似于一对角矩阵。例16判断矩阵020212022A是否可以对角化？例17设n阶可逆矩阵A可对角化，证明：A的伴随矩阵也可对角化。题型6有关实对称矩阵的命题例18已知3,6321是实对称矩阵A的三个特征值，且对应于332的特征向量为T)1,0,1(2，T)1,2,1(3，求A对应于61的特征向量及矩阵A。9题型7利用特征值与相似矩阵求行列式例19设T)1,0,1(，矩阵nAT,为正整数，则nAaE＝。例20已知三阶矩阵A的特征值为1，－1，2，设EAAB*2*3)(，试求（1）矩阵B的特征值及其相似标准形；（2）行列式B及EA3*。题型8利用相似对角化求方阵的幂例21三阶矩阵A的特征值分别为3,1,1321，对应的特征向量依次为：0111，1112，1103，又向量023，（1）将用321,,线性表示；（2）求nAn(为正整数）。IV本章小结重点难点：1、求矩阵的特征值和特征向量；2、已知矩阵的特征值或特征向量，反求矩阵中的参数；3、矩阵可相似对角矩阵的判定及化矩阵为对角矩阵。本章一般出填空题和计算题，几乎每年都会出有关一道与特征值有关的题目，因此本章也是重点考查章节。题目主要涉及：1）特征值、特征向量的概念、性质及计算；2）矩阵相似的概念、性质以及相似对角化的有关问题；3）实对称矩阵特征值和特征向量的性质以及用正交矩阵相似对角化等。