第五章晶格动力学

1第五章晶格动力学5．1证明：第n个原子的运动方程为：nnnnuuudtudm21122因为：niqanniqanueuueu11所以第n个原子的运动方程可化为：niqaiqanueedtudm222在长波近似下：,0qa2211iqaiqaeiqa运动方程又化为：122222nniqaiqanuqaueedtudm长波近似，当l为有限整数时：1limlim00iqlaqnlnqeuu该式说明，在长波近似下，邻近的若干原子以相同的振幅，位相集体运动，因此(1)式可统一写成：22222lnlnuqadtudm固体弹性理论所说的宏观的质点运动，正是由这些原子的整体运动所构成，这些原子偏离平衡位置的位移lnu，即是宏观上的质点位移u。从宏观上看，原子的位置可视为准连续的，原子的分离aln可视为连续坐标x，即：uAeAeuwtqxiwtalnqiln于是对x求二阶偏导有：222xuuqln将上式代入（2）式可化为：22222xuvtu其中：mav是用微观参数表示的弹性波的波速25．2解：由教材(5.1.21)式一维双原子链色散关系：2122221sin411qaMmmMmMMm注意：一维双原子链原胞尺寸为a，基元中两原子的距离为2a。当Mm时，原胞尺寸为a的一维双原子链就变为原子间距为2a的一维单原子链，这样每个波矢q对应一个频率的振动模式，只有声学模；取上式频率较低的一支并将Mm带入有：2212212221cos1221cos1221cos1221sin112qaMqaMqaMqaM所以有：Mqaq21cos12即为：原子间距为2a的一维单原子链色散关系。5．3：解：如图所示的双原子链按题设条件，运动方程为311010122122ssssssssssVucVucdtVdMuVcuVcdtudM设解为2tiisqastiisqaseVeVeueu将2式代入1式中，得31110111022cVuecVMcuVecuMiqaiqa是Vu,的线性齐次方程组，存在非零解的条件是401110101122cMececcMiqaiqa解出50cos120222242qacMcM所以6cos120121112qaMc当0q时702222Mc当aq时822022McMc2与q的关系如图所示4这是模拟一个双原子分子晶体的例子，分子内原子间的力常数要比分子间的力常数大的多。反映分子整体振动的声学波频率决定于分子间比较弱的相互作用，频率较低。而反映分子内原子的相对振动的光学波，决定于分子内原子比较强的相互作用，其振动频率要比声学波高得多。5．4（1）解：按照德拜模型，格波的色散关系为1cq对于原子间距a为的一维单原子链色散曲线如图示:5由色散曲线的对称性可以看出，d区间对应两个同样大小的波矢区间dq，a2区间对应N个振动模式，单位波矢区间对应有2aN个振动模式。d范围则包含:222dqaNdqaNdz个振动模式ddz是单位频率区间包含的振动模式数目，即模式密度D-----也叫振动频谱。由2式有原子间距a、N个原子组成的一维单原子链的振动频谱为：D＝ddqaNddz3又由1式有cddq1⑷将（4）式代入（3）式可得：)5(caNddqaNddzD(2)证明：N个原子构成的一维单原子链，晶格振动总的热振动能为DBTkedDE01其中caNddzD叫做模式密度（或称振动频谱）,由（1）问中的一维单原子6链德拜模型的色散关系图易知：acD热容量22022011TkTkBBTkTkBBVVBBdBBdedeTkCaNkedDeTkkTEC作变量代换TkxB得TxxBVDedxxecTaNkC02221其中BDDk在低温极限下TD，VC中的被积函数按二项式定理展开成级数12222211nnxxxxxnexeexexe则积分3121212102022nnnxxxndxxneedxxe由此有cTkaNCBV32所以，一维晶格的比热在低温极限下与温度T成正比。5.5:解：由德拜3T定律34512DBVTnkC7而电子比热公式为FBVTTnkC22当晶格比热和电子比热相等则有FBDBTTnkTnk2512234FDTT23245对Al：KD385KTF4106.13故KT98.25．6：证明：对于波矢为q，频率为的一维单原子链的格波：1tqnainAeu原子链上第n个原子的动量为：2tqnainMAeiuM原子链的总动量为：311NniqnaiwtnNneMAeiuMqp式中N是原子链上的原子数。由周期性边界条件：2,1,02laNlq式3化为：412NnNnliiwteMAeiqp利用公式：NnNnxxx111式4化为：51122NililiwteeMAeiqp当0l时（即0q）时，式5中的012ile，因而有0qp0q的模式是描写晶体中所有原子的相对运动的，由于每个原子有一定位相差，原子链的总动量为零，这表明声子0q是不携带物理动量的。5．7：8（1）证明：如图所示，只考虑最近邻原子的作用，第ml,原子受到1,1,,,1,,1mlmlmlml四个原子的作用力为：ml,1对它的作用力mlmluu,,1ml,1对它的作用力mlmluu,1,1,ml对它的作用力mlmluu,1,1,ml对它的作用力1,,mlmluu由于ml,1和ml,1对它的作用力以及1,ml和1,ml对它的作作用力的方向都是相反的，于是运动方程式可写为122,1,1,,,1,12,2mlmlmlmlmlmlmluuuuuudtudM（2）证明：设解的形式为2exp0,tamqalqiuuyxml代入运动方程1后，得到色散关系93coscos2242aqaqeeeeMyxaiqaiqaiqaiqyyxx（3）证明：从23两式可以看出，2,,mlu均为yxqq,的周期函数，周期为,2a，所以yxqq,的取值可以限制在,,aqaaqayx的区域内，也就是说，全部独立的解都落在q空间中一个边长为a2的正方形区域内，这就是平面方格子的第一布里渊区。对于布里渊区中0,yxqqq以及yxqq两个特殊方向上的色散关系容易从3式求出：0,yxqqq4;cos122qaM521cos14cos14,2qaMaqMqqxyx2与q的关系如图所示10（4）证明：对于,1qa3式可以近似写为2222222221121122yxyxqqMaaqaqM所以2122122212MaqqqMayx这样，在,1qa，即振动的波长a的极限情况下群速度212Madqdv是与q无关的常数。