第五章矩阵的特征值和特征向量

33线性代数练习题第四章矩阵的特征值和特征向量系专业班姓名学号第一节矩阵的特征值和特征向量1．求下列633312321A的特征值及特征向量解①123213(1)(9)336AE故A的特征值为9,1,0321．②当01时，解方程0Ax，由000110321633312321~A得基础解系1111P故)0(111kPk是对应于01的全部特征值向量.当12时,解方程0)(xEA，由000100322733322322~EA得基础解系0112P故)0(222kPk是对应于12的全部特征值向量当93时，解方程0)9(xEA，由11182319283012333000~AE得基础解系121213P故)0(333kPk是对应于93的全部特征值向量．341．已知三阶矩阵A的特征值为1，－2，3，求：（1）2A的特征值；（2）1A特征值（1）2A1231123:(1)22,4,6(2)111,,23AA解3．已知三阶矩阵A的特征值为1，2，3，求|73|23AAA323232:37(1),(2),(3),()37.|37|(1)(2)(3)510211050.AAAAffffxxxxAAAfff解的特征值为1,2,3,则的特征值其中则设0232EAA，证明A的特征值只能取1或2。3522222:(32)(32)320,(32)0.0,32012.AxxAAExxAAExx证设则又故又所以或线性代数练习题第四章矩阵的特征值和特征向量系专业班姓名学号第二节相似矩阵一．选择题：1．设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，则[]（A）BEAE（B）对任意的常数，AE与BE相似（C）A与B有相同的特征值和特征向量（D）A与B相似于一个对角矩阵2．设矩阵001010100B，已知矩阵A相似于B，则秩)2(EA与)(EA之和等于[]（A）2（B）3（C）4（D）5二．选择题：1．已知四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为2，3，4，5，则|B－E|=2．矩阵222222220的非零特征值是36三．计算题：1．设矩阵50413102xA可相似对角化，求x四.证明题：1.求证：教科书P162性质4、5、6：37线性代数练习题第四章矩阵的特征值和特征向量系专业班姓名学号第三节实对称矩阵的对角化一．选择题：1．设,,是nR中的向量，下列表达式中表示数量的为[]（A）],[（B）],[],[（C）],[（D）)(],[12．向量T)1,0,1,0,1(和T)0,2,0,1,0(，则它们之间的夹角为[]（A）4（B）3（C）2（D）二．填空题：1．已知yxA2/12/1是正交矩阵，且0x，则yx2．设321,,是规范正交组，则321474三．计算题：381．将向量组931421111),,(321正交标准化2．试求一个正交的相似变换矩阵，将矩阵020212022A化为对角阵39四．证明题：设A、B都是正交矩阵，证明AB也是正交矩阵。