第五节反常重积分

图12-5-1第五节反常重积分本节将研究无界区域或无界函数的情形.着重就二重积分进行讨论.一、无界区域上的反常积分设Γ是曲线，令记号：),(|inf)(22yxyxd.定义1设D是平面R2中无界区域，它的边界有有限条光滑曲线所组成,Γ是任一条面积为0的连续有界曲线,Γ将D分割成若干部分,其中到(0,0)距离最小的有界部分(或其一)记为D(Γ)(如图),yxf,是D上的函数,并且在D的任意有界可求面积的子集上可积.如果)()(,limDddxdyyxf存在,则称yxf,在D上可积,这个极限称为yxf,在D上的反常二重积分.还是记作:Ddxdyyxf,,即Ddxdyyxf,=)()(,limDddxdyyxf.当yxf,在无界区域D上可积时,称Ddxdyyxf,收敛.如果)()(,limDddxdyyxf不存在,我们还用Ddxdyyxf,这个记号,也称为yxf,在上的反常二重积分,但这时我们称这个反常二重积分发散.其中我们说D(Γ)是Γ从D中割出的有界区域.显然若yxf,和yxg,在D上可积，则yxf,yxg,在D上可积.定理12.16设D是平面R2中无界区域，yxf,是D上的函数,yxf,≥0.n是一列分段光滑曲线,如定义中,它们将D分割出有界子区域),2,1(),(kDDkk满足nDDD21,及)(limnnd,ΓDxyD(Γ)∪那么Ddxdyyxf,收敛的充分必要条件是数列nDdxdyyxf,收敛,并且Ddxdyyxf,=nDndxdyyxf,lim.证明由定义,必要性是显然的.只要证充分性.注意到nDdxdyyxf,是单调增数列,当记nDndxdyyxfI,lim时.)3,2,1(,,nIdxdyyxfnD.对任意一条分段光滑曲线Γ,它从D割出的有界可求面积的区域D(Γ),由于条件知,存在N1,当nN1时,D(Γ)Dn,)(,DdxdyyxfIdxdyyxfnD,.对任意ε0,存在N20,当nN2时,IdxdyyxfnD,.所以,对分段光滑曲线Γ,D(Γ)为有界区域.当)(d)(),(,),(|sup)(11221222NNNDyxyxyx时,12,NDdxdyyxfI)(,DIdxdyyxf从而有极限的定义知,)()(,limDdIdxdyyxf,所以Ddxdyyxf,收敛.并有上面的等式.例1求0,022yxyxdxdye的值.解设自然数n,取Γn:222nyx.2000,0)1(42222222nnrnyxyxyxerdreddxdye所以，4lim22222220,00,0nyxyxyxnyxyxdxdyedxdye即，原反常积分收敛.对自然数n,再取Γ’n:,,nynx.那么也有2020,0,00,0222222limlimdxeedxdyedxdyexndxxnnynxyxyxnyxyx从而我们可得如下的概率积分:202dxex.定理12.17(比较判别法)设D是平面R2中无界区域，yxf,,yxg,是D上的函数,在D的任何有界可求面积的子区域上可积,并且),(,0yxgyxf.那么(1)当Ddxdyyxg),(收敛时,Ddxdyyxf),(收敛时;(2)当Ddxdyyxf),(发散时,Ddxdyyxg),(发散时.证明留给读者.定义12.18设D是平面R2中无界区域，yxf,在D上的可积函数的充分必要条件是|,|yxf在D上的可积.证明充分性设|f(x,y)|在D上的可积,令;0),(,,0),(,0),(),(yxfyxfyxfyxf;0),(,,0),(,0),(),(yxfyxfyxfyxf显然,|,|,0yxfyxf，所以yxf,在D上的可积.故yxf,=yxf,-yxf,也在D上的可积.必要性用反证法.设f(x,y)在D上的可积,但|f(x,y)|=yxf,+yxf,在D上的不可积,即yxf,和yxf,至少有一个不可积.不妨设yxf,不可积.那么对任意正数K,存在一条曲线Γ,它从D割出有界的D(Γ)满足:)(),(DKdxdyyxf.一般地,由归纳可得,存在一族分段光滑曲线n,它们将D分割出有界子区域),2,1(),(kDDkk满足Γn+1Dn+1-Dnσn+1连接区域y图12-5-2nDDD21,及)(limnnd,并且1),(2),(nnDDndxdyyxfdxdyyxf,(n=1,2,……),即nnnDDDndxdyyxfdxdyyxf1),(),(,(n=1,2,……).因f(x,y)在D上的可积,f(x,y)在nnDD1上的可积.容易得yxf,在nnDD1上的可积.其Darboux小和收敛于nnDDdxdyyxf1),(.所以,当把nnDD1充分细的分划P:)()2()1(,...,,nsnnn，其面积分别是:)()2()1(,...,,nsnnn.记}),(|),(min{)()(ininyxyxfm,nsi,....,2,1,有nsiininm1)()(1),(1),(1nnnDDDndxdyyxfdxdyyxf,(n=1,2,……).记Pn为0)(inm的小区域的并,那么nPdxdyyxf),(nsiininm1)()(1),(ndxdyyxfnD,(n=1,2,……).令En为Dn和Pn的并,nnnDPEdxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf),(),(),(nnDPdxdyyxfdxdyyxf),(),(nnDPndxdyyxfdxdyyxf1),(),(,(n=1,2,……).DnxP图12-5-3如果En不是一个连通区域，我们可以作几个长条矩形连接各个不相交的区域.使得这些长条矩形和原有的所有区域形成连通的区域记为Σn，这些长条矩形的取法,使得2),(ndxdyyxfn,(n=1,2,……).显然,n可以充分大,与f(x,y)在D上的可积矛盾.推论设D是平面R2中无界区域，yxf,是D上的函数,并且在D的任意有界可求面积的子集上可积.,那么(1)当22yx足够大时,)(),(22yxcyxf(c是常数),如果α2,则反常二重积分Ddxdyyxf),(收敛;(2)当22yx足够大时,)(),(22yxcyxf(c是常数),如果α≤2,则反常二重积分Ddxdyyxf),(发散.二、无界函数的反常积分设D是平面R2中有界可求面积区域，P是的聚点,yxf,是D(可能除P以外)上的函数,在P的任何邻域内无界(P称为奇点或瑕点),.设Δ为含有P的任何小区域,yxf,在D-Δ上可积.设),(),,(|)()(sup2211221221yxyxyyxxd.如果Dddxdyyxf),(lim0存在,则称yxf,在D上可积,这个极限也称为yxf,在D上的反常二重积分.还是记作:Ddxdyyxf,,即Ddxdyyxf,=Dddxdyyxf),(lim0.当yxf,在D上可积时,称Ddxdyyxf,收敛.如果Dddxdyyxf),(lim0不存在,我们还用Ddxdyyxf,这个记号,也称为yxf,在D上的无界函数反常二重积分,但这时我们称这个反常二重积分发散.ΓnDyxΔOx与无界区域的反常二重积分一样,可以对无界函数反常二重积分也可以建立相应的收敛定理.定理12.18设D是平面R2中有界区域，P(x0,y0)是D的聚点,yxf,是D(可能除P以外)上的函数,在P的任何邻域内无界,.设Δ为含有P的任何小区域,yxf,在D-Δ上可积,那么(1)当2020)()(yyxx足够小时,))()((),(2020yyxxcyxf(c是常数),如果α2,则反常二重积分Ddxdyyxf),(收敛;(2)当2020)()(yyxx足够小时,))()((),(2020yyxxcyxf(c是常数),如果α≥2,则反常二重积分Ddxdyyxf),(发散.对于非负函数,也有与无界区域的反常二重积分一样的结果.例2求12222)(1yxmdxdyyx.解显然函数是区域上.(0,0)可能为奇点,取Δ:)1(,222yx,那么122012222222)(1lim)(1yxmyxmdxdyyxdxdyyx2,2,lnlim2)1(21lim21lim10201200mmmdrrdmm当2m,mdxdyyxyxm22)(112222,当2m,12222)(1yxmdxdyyx发散.类似于反常二重积分,我们可以定义一般的反常n重积分积分,在此不在重复,读者可以自己叙述.习题12-51.判别收敛性1)0,011yxyxqpdxdyyx;2)2)sin(22Rdxdyyx;3)1)(sinsinyxpdxdyyxyx;4)Dpdxdyyxyx)(,}10,10|),{(yxyxD;5)12222)1(yxpyxdxdy;6)2221||||)(Ryxdxdyeyxp;2.计算1)Dxydxdyex23;2)144222)(yxdxdyyxyx;3)1222222yxdxdyyxyx;3.证明:设}|),{(22byxayxDab,f(x,y)在01D上连续,那么122),(yxdxdyyxf收敛的充要条件是0),(limlim00abDabdxdyyxf.