第五节隐函数的求导公式

第八章多元函数微分法及应用（§5隐函数的求导公式）1第五节隐函数的求导公式要求：会求隐函数（包括方程组确定的隐函数）的偏导数。重点：隐函数（组）的求导公式与求导法。难点：理解隐函数（组）的存在定理，隐函数组的求导法。作业：习题8－5（43P）**1)3)2,4,7,8,10,11一．一个方程的情形在一元函数微分中，曾引进了隐函数的概念，并介绍了不经过显化直接由确定隐函数的方程0),(yxF，求它所确定y是x的隐函数的导数的方法．下面可利用多元复合函数的求导法则来推出隐函数的求导数公式．例如，方程yexye确定隐函数的偏导数为yFdyyxFdxexy．如果0yF，则方程0))(,(xfxF两边对x求导，有0dxdyyFxFdxdF，从中解出yFxFdxdy．1．隐函数存在定理1设函数),(yxF满足条件（1）在点000(,)Pxy的某一邻域内具有连续的偏导数；（2）0),(00yxF；（3）0),(00yxFy，则方程0),(yxF在点),(00yx的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续，且具有连续导数的函数)(xfy，它满足条件)(00xfy，并有导数公式yxFFdxdy．说明：求偏导数xF时，将函数),(yxF中y视为常数，对x求偏导数；求偏导数yF时，将函数),(yxF中x视为常数，对y求偏导数．第八章多元函数微分法及应用（§5隐函数的求导公式）2例1．验证方程1yxey在点)1,0(的某一邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的隐函数)(xfy，当0x时1y，并求这函数的一阶与二阶导数在0x的导数值．解设函数1),(yxeyxFy，则yxeF，1yyxeF，显然偏导数连续，且0)1,0(F，又01)1,0(yF，因此由定理1可知方程1yxey在点)1,0(的邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的隐函数)(xfy，当0x时，1y．有导数12yyxyyFdyeedxFxey，edxdyx0|二阶导数为222223(2)'(3)(3)'(2)(2)(2)yyyydyeyyeyeyeyydxyyy222023(31)|2(21)xdyeedx．如果函数),(yxF的二阶偏导数连续，可求出二阶导数公式dxdyFFyFFxdxydyxyx)()(22)(22yxyxyyyxyyxyxyxxFFFFFFFFFFFF3222yxyyyxxyyxxFFFFFFFF．2．隐函数存在定理2设函数),,(zyxF满足条件（1）在点0000(,,)Pxyz的某一邻域内具有连续的偏导数；（2）0),,(000zyxF；（3）0),,(000zyxFz，则方程0),,(zyxF在点),,(000zyx的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续，且具有第八章多元函数微分法及应用（§5隐函数的求导公式）3连续偏导数的函数),(yxfz，它满足条件),(000yxfz，并有偏导数公式zxFFxz，zyFFyz．公式的推导：由于0),,(zyxF确定二元函数),(yxfz，将其代入方程0),,(zyxF中，得0)),(,,(yxfyxF，方程两边分别对x和y求偏导数得0xzFFzx，0yzFFzy，由上面两式分别解出偏导数zxFFxz，zyFFyz．说明：求偏导数xF时，将函数(,,)Fxyz中,yz视为常数，对x求偏导数；求偏导数yF时，将函数(,,)Fxyz中,xz视为常数，对y求偏导数；求偏导数zF时，将函数(,,)Fxyz中,xy视为常数，对z求偏导数．例2．设方程04222zzyx，求,zzxy，yxz2．解方法1：设函数zzyxzyxF4),,(222．则xFx2，42zFz，yFy2于是zxzxxz2422，zyzyyz2422．上式2zxxz再对y求偏导数，得2223()2(2)(2)(2)zyxxzxyyxxyzzz．方法2：方程04222zzyx两边对x求偏导，得2240zzxzxx，解得zxzxxz2422，第八章多元函数微分法及应用（§5隐函数的求导公式）4通理得zyzyyz2422练习：设方程lnxzyz，求yxz2．（用两种方法求一阶导(1)zzxxz，1zzyz）例3．设方程0),(zyzxG确定函数),(yxzz，且),(vuG偏导数存在，求yzxz,．解令(,,)(,)(,)xyFxyzGGuvzz，其中,xyuvzz，zGFx11，zGFy12，)()(2221zyGzxGFz)(1212yGxGz，则2112121)(11yGxGzGyGxGzGzFFxzzx．2122122)(11yGxGzGyGxGzGzFFyzzy．也可以用方法2求偏导数．练习题设方程(,,)0Gxyyzxz确定函数),(yxzz，而(,,)Guvw偏导数存在，且230GxG，求yzxz,．二．方程组的情况1．方程组0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF⑴这是两个方程四个变量的方程组，一般只能有两个变量独立变化，所以方程组⑴可确定两个二元函数),(),,(yxvvyxuu，将其代入⑴中，得(,,(,),(,))0(,,(,),(,))0FxyuxyvxyGxyuxyvxy，将上式两边分别对x求偏导数，得00xuvxuvuvFFFxxuvGGGxx，第八章多元函数微分法及应用（§5隐函数的求导公式）5这是关于xvxu,的线性方程组，可以从中解出xvxu,，也可用行列式求解．见下面定理3．隐含数存在定理3设函数),,,(vuyxF，),,,(vuyxG满足下列条件（1）在点00000(,,,)Pxyuv的某邻域内具有对各个变量的连续偏导数；（2）0),,,(0000vuyxF，0),,,(0000vuyxG；（3）函数vuGF,,对的偏导数所组成的函数行列式(或雅可比行列式)0),(),(vuvuGGFFvuGFJ，在点00000(,,,)Pxyuv则方程组0),,,(vuyxF，0),,,(vuyxG在点0P的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数),(),,(yxvvyxuu，满足条件),(000yxuu，),(000yxvv并有偏导数公式),(),(1vxGFJxu，),(),(1xuGFJxv),(),(1vyGFJyu，),(),(1yuGFJxv．例4．设方程0yvxu，1xvyu，求偏导数yvxvyuxu,,,．解将所给方程的两边对x求偏导数并移项，得vxuxxuyuxuyxux在022yxxyyxF条件下，2222yxyvxuyxxvyuxu；2222yxxvyuyxvyuxxv．第八章多元函数微分法及应用（§5隐函数的求导公式）6同理，方程的两边对y求偏导数，解方程组得22yxyuxvyu，22yxyvxuyv．2．由方程组0),,(zyxF，0),,(zyxG可确定两个一元函数)(),(xzzxyy，的导数公式．方程0))(),(,(xzxyxF，0))(),(,(xzxyxG两边对x求导，得xzyxzyzyxzyxGdxdzGdxdyGFdxdzFdxdyFdxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFF00，从中解出zyzyzxzxGGFFGGFFdxdy，zyzyxyxyGGFFGGFFdxdz．例5．设0zyx，1222zyx，求dxdzdxdy,．解方程0zyx，1222zyx两边对x求导，得102220dydzdxdxdydzxyzdxdx1dydzdxdxdydzyzxdxdx，因为011yzzyJ，于是zyxzyzzxdxdy11，zyyxyzxydxdz11．例6．若函数)(uFz可微，又12sin()xyuutdt，为连续函数，求xz．解因为xuuFxz)(，又)(cos2yxxuuxu，所以uyxxucos2)(，于是uyxuFxzcos2)()(，(2cos0u)．第八章多元函数微分法及应用（§5隐函数的求导公式）7例7．设),(txfy，而t是由方程0),,(tyxF所确定的yx,函数，其中Ff,都具有一阶连续偏导数，试证明tFyFtfxFtftFxfdxdy．解因为))((dxdyytxftfxfdxdy，从中解出yttfxttfxfdxdy1，又因为),(yxtt由方程0),,(tyxF确定，所以tFxFxt，tFyFyt于是yFtftFxFtftFxftFyFtftFxFtfxfdxdy)(1)(．例8．设函数),(yxzz由方程组vuex，vuey，uvz确定，求,zzxy．解函数uvz对x求偏导数，得xvuxuvxz，方程vuex对x求偏导数得)(1xvxuevu，方程vuey对x求偏导数得第八章多元函数微分法及应用（§5隐函数的求导公式）8)(0xvxuevu，解方程组0xvxuexvxuvu，得vuexvxu21，于是)(21vuexzvu．同理)(21uveyzvu．思考题1．若方程0),,(zyxF确定了z为yx,的函数，那么如何求二阶偏导数yxz2？