第五讲 振动与波

第1页第五讲振动与波一、竞赛中涉及的问题（一）简谐运动1．任何机械运动都可用数学方法分解成一系列简谐运动，简谐运动是最基本的机械振动，简谐运动的动力学特点：物体所受回复力与位移反向，大小与位移成正比，即：F=－kx。运动学特点；位移可用时间的正弦函数或余弦函数表示。例1．判断下列各物体的振动是否简谐运动其中，（3）是质量均匀的地球通道中的小球，（4）为浮于水面上的木块，（5）为两端开口U型管中的液面A。2．运动规律和参考圆用初等数学方法，不能得出简谐运动物体的V、a变化规律，采用参考圆却能有效解决此问题，任何一个简谐振动，都可看作某一个作匀速圆周运动的参考点在某一直径上的投影的运动，这种想象中的参考点的运动轨迹—参考圆，参考圆半径为A，即为简谐运动物体的振幅，如图，O为振体m的平衡位置，t=0时，x=x0，Vx=V0,相应物在A点，参考圆位置的P0点，t时刻，在Pt点（B点），由图得（1）位移x=Acos(ωt+φ0),（2）速度Vx)sin(0tA（3）加速度)cos(02tAaxxax2，其中，0是初相角，回复力xmmaFx2（4）振幅A—振体离开平衡位置的最大距离，由初始条件t=0时，00,vvxx代入x、vx表达式中，得0000sin,cosAvAx，解之得A=)(,)(00102020xvtgvx位相)(0t，决定振体运动的状态的变量，0是t=0时的初相角N·B！上述方程的原点均取在振体的静平衡位置。例2：试求下图所示系统的振幅A及初位相0，（a）中C与B中吊绳静止时断开，（b）中将Oxx0(1)Oxθ光滑斜面（2）AOx（4）mmKCB(a)xmmCBxho(b)（3）mOO1Mx2xox（5）xOBAPtPoωωtoxO1vxymmkCB(b)mmBCk第2页物B无初速地放在物C上。3．简谐运动的圆频率，频率与周期（1）圆频率即x、vx、ax表达式中的，由F=－kx=mkxm,2（2）周期T，T=km2/2。（3）频率fmkTf211例3，如图（a）将劲度系数为k的弹簧，按其原长1∶2截断为两根，求由它们组成的(a),(b)两系统的周期，图C中，振动系统的周期又是多少？例4：物体质量m，用弹簧悬吊于长为b的轻质杆上，K1、K2已知,长度a,b已知，求系统振动周期。例5：求下图(a)－(d)中系统振动周期，(a)，(b)斜面光滑(c)中AC、BC为两细线,m在垂直于纸面的平面内摆动，（d）中△ABC为等边△，每边杆长L，质量不计。4．简谐运动规律的求解解题思路：（1）判断振体作简谐振动；（2）取物体静平衡位置为坐标原点，直接写出规律，如)cos(tAx（3）求，（4）确定初始条件，A、。5.代入运动方程求解。例6：如图，质量均为m的两物用线绳相连，悬于K1，K2两弹簧上，求绳断后，剩下物体的运动规律。例7．如图，M=2kg，k=100N/m，光滑水平面，t=0时，x0=10cm，v0=0，h=1cm高处有一质量m=0.4kg的小物下落，当M沿x轴负向通过平衡位置时，小物恰落在M上且无反弹，试求此后两物体一起1k2(a)Amk1k2(b)mk1k2k3(c)k2amoxk1Lmα(a)Lmoα(b)(D)B60ºαoCAk1k2mmABm2LLCo(C)30º30ºkMmhkx第3页运动的规律。（二）振动能量与共振1．简谐振动中的能量。弹簧振子动能)(sin21212222tmAmvEk，振子的瞬间势能)(cos21212222tAmkxEp，总能量2222121kAAmEEEpk，可见，简谐振动物体机械能守恒，振子通过平衡位置时，Ep=0，Ek最大，通过极端位置时，Ek=0,Ep最大，mk例8：弹簧振子劲度系数为k，振动物质量为m，t=0时，x=x0，vx=v0,求A、。2．阻尼振动，简谐振动机械能守恒，一旦开始，就永不停止，是理想状况，实际振动，因有摩擦，振动总是减弱以致最后停下，这种振幅逐渐减小的运动—阻尼振动。对于一定的振动物体，有阻尼要比无阻尼时，周期长些，阴尼越大，周期越长。例9：如图，劲度系数为k=250g/cm的弹簧一端固定，另一端连接一质量为30g的物块，置于水平面上，摩擦因数41，现将弹簧拉长1cm后由静止释放，求（1）物块获得的最大速度；（2）物块经过弹簧原长位置几次后才停止运动？3．受迫振动，物体在周期性外力（策动力）作用下的振动叫受迫振动。受迫振动的频率等于策动力的频率，而与物体固有频率无关，当策动力频率与物体固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象称为共振，策动力频率与物体固有频率越接近，受迫振动振幅越大。（三）机械波1．机械波，横波与纵波。机械振动在介质中的传播叫机械波，波传播的是振动形式和能量，质点并未发生迁移，横波一质点振动方向与波传播方向垂直。纵波一质点振动方向与波的传播方向在一直线上。固体中可以同时有横波与纵波，气体中一般只有纵波存在。2．波长、频率与波速，定义（略）关系fv，注意：波速不同于运动质点的速度。3．平面简谐波的波动方程及图象，平面简谐振动在一个方向上的传播叫简谐波，如图，O点的振动方程为)cos(0tAy，在x轴上任k1cmxyv第4页一点P比O的振动滞后vxt1，∴P点振动方程为：])(cos[0vxtAy，这就是波动方程，可描述平面简谐波的传播方向上任意点的规律。4．波的干涉，同频率，同相位或相差恒定的两个波源，称相干波源，相干波在相遇区域中出现的稳的振动加强和减弱区间的现象，叫波的干涉现象。干涉时，振动最强区域发生在波程差△S=k处（k为整数），振动最弱区域发生在△S=（2k+1）2处。（两波源同频同相）例10．如图，在同一均匀介质中，相距为a的两波源M、N同时以同一相位向四周发射波长为2a的简谐波，试找出介质中振动加强或削弱的两条直线的位置。例11．如图，有两个波源位于同一介质中的AB两点，振动方向相同，振幅相等，频率皆为100Hz，但B点波源比A点波源的位相超前π，若AB相距30m，波速为400m/s，试求AB之间的连线上因干涉而静止及振幅最大的点的位置。5．波的衍射，波在传播过程中遇到障碍物而发生的绕射现象。6．声波，声波的反射，干涉衍射略。（4）声音的共鸣一共振现象，在一个盛水的长玻管上方放一个正在发音的音叉，当水面上方玻管中空气柱长度)412(nL入时，可观察到空气柱与音叉发生共鸣，式中n是自然数，入是音叉所发声音的波长。（5）乐音与噪音（6）音调响度和音品自看。二、方法与技巧（一）简谐运动的证明例1，如图，圆柱体半径为r,高为h，质量为m，悬挂于弹簧上，其下部h/2浸在足够宽大的水池中处于静止，然后用外力使圆柱体再没入水中一小段距离，但不全部没入，撤去外力后，圆柱体做什么运动？其振动周期是多少？例2：如图，两个相同的定轴圆轮以相同大小的角速度旋转，两轮心相距L，质量为M的平板搁置于两轮上，轮板间摩擦系数为，试判断木板是否做简谐运动，并求运动周期。（二）等效法例3：右图中(a)、(b)的各两根弹簧是串联还是并联？两个质量为m的物体的振动周期各是多少？（a）中滑轮及所有弹簧质量均不计。xPMNABx2h2roxN1N2coxf1f2ωωmk1k2(b)mk1k2(a)O第5页ABL1L2CQk1k2P例4：求右图中匀加速向左运动的小车中单摆的振动周期。（三）整体法与隔离法例5：如图，劲度系数分别为K1、K2的弹簧把质量为M的滑块P连接起来置于光滑水平面上，将质量为m的物体Q置于P上，现把P拉到距平衡位置d处从静止释放，为使振动过程中Q与P间不发生相对滑动，则P与Q间静摩擦系数至少为多大？例6：如图，在劲度系数为K的轻弹簧两端，分别系住质量为m1的物体A和质量为m2的物体B，现让两物块将弹簧压缩后放于光滑水平面上，求该振动系统的振动周期。（四）巧用参考圆例7：如图(b)为某质点的振动图象，试求A、B两处的时间差tAB；B、C两处相拉差BC；VA∶VB。例8：如图，一个劲度系数为K的轻弹簧竖直固定在桌子上，将一小球放在弹簧上，弹簧被压缩d后平衡，然后按住小球使弹簧再被压缩C，且Cd，松开小球后，求小球上升到最高点所需的时间。mθaCt=0AB0.20.10-0.1-0.20.61.2BCt/sx/m(a)(b)xAdBoAxcPBωt1coAd第6页（五）相对振动问题例9：在电梯中竖直悬挂一弹簧振子，弹簧原长L0，振于质量m=1.0kg，电梯静止时弹簧伸长△L=0.10m,从t=0开始，电梯以g/2加速度下降t=πs，然后又以g/2的加速度减速下降直到停止，试画出弹簧的伸长△L随时间t的变化曲线。10．如图，物A、B用细线相连，悬挂于定滑轮O上，物C用劲度系数k=mg/L，原长为L的弹簧悬于B下，已知它们的质量关系为mA=2m,mB=mc=m，开始时系统静止，且使弹簧保持原长释放，若不计滑轮与绳的质量和摩擦，试求C相对于B的运动规律。例11、如图，质量为M的U型槽置于光滑水平面上，质量为m的物块用两根劲度系数为K的轻弹簧与U型槽相连，系统开始静止，现用一水平恒力F作用于U型槽后，试求物块相对于槽的运动规律。例12、如图，质量M的小车在光滑水平轨道上，摆长L，小球质量m，当摆球来回摆动时，小车做往复运动，求小车往复运动的周期。ABComKKFmLMaMθ第7页（六）能量法例13、如图，用三根竖直的，长度相同的且不可伸长的细轻绳将一个细圆环水平悬挂，环上拴绳点彼此等距，现用轻杆将一与环等重的小球固定于环心处，求环心放上小球前后环的微小扭转振动周期之比。例14、如图，一质点被一轻弹性绳系于固定点A，绳原长a，悬挂质点后，静伸长为b，质点从A静止下落，试讨论质点以后的运动，并求出质点落至最低点的位置和时间。例15、如图，质量为m的小球用轻杆悬挂，两侧用劲度系数为K的弹簧连接，杆自由下垂时，弹簧无形变，图中a、L已知，求摆杆做简谐振动的圆频率ω。例16、如图，小钢板固定于劲度系数为K的弹簧上，弹簧下端固定在地面上，钢板处于静止状态，现有一小钢球从钢板正上方H高处自由落下，与钢板发生完全弹性碰撞，已知钢板质量是钢球的3倍，不计空气阻力。（1）要使球与钢板每次都在同一高度发生瞬时碰撞，板的质量最大应是多少？（2）在（1）的情况下，若规定向下时速度为正，试分别画出球与钢板的V－t图。at=0ABbxx1xDHLaKK第8页（七）简谐运动规律的一般解法例17、如图，M＝2kg，K＝100N/m，t＝0时，xo＝10cm，V0＝0，在h＝1cm高处有一质量m＝0.4kg的小物下落，当M沿x轴负向通过平衡位置时，小物体刚好落到M上并粘在一起，求此后两物体一起运动的规律。例18、如图，振子C质量为m，弹簧劲度系数为K，置于光滑水平面上，振动圆频率为ω＝0.5π／S，另一质量也为m的物块A，从h＝0.2m高处由静止下滑至B需时间tAB＝1.5S，OB＝6m，现将弹簧压缩到x0＝2m处，与A同时自由释放，A与C做完全非弹性碰撞后粘在一起运动，若从刚碰撞后开始计时，试求振于的运动规律（g＝10m/s2）。例19、广而深的静水池中竖立一固定细杆，其露出水面部分套着一个长为L，密度ρ，截面均匀的均质细管，细管可沿杆无摩擦地上下滑动，现用手持管，使管的下端刚与水面接触，放手后管竖直下沉，设水的密度为ρ水，不计水的阻力与表面张力。（1）当管的密度等于某一密度ρ0时，管能下沉到刚好全没入水中，求ρMhmKKx0xLhxOCBA·AxOx0第9页0；（2）在ρ＝ρ0时，管下沉历时多少？（3）设管的密度ρ等于水32，求管下沉到最后位置所用的时间。例20、如图，质量为M的秤盘挂在劲度系数为K的弹簧下，质量为m之物从距盘底高h处自由落至盘中，与盘做完全非弹性碰撞，试求盘子的运动规律。例21，如图，A为小球，B为均质球壳，半径为a，设A与B的碰撞完全弹性，B与水平桌面的碰撞完全非弹