第五讲函数(全科实验班)

第五讲函数1．【知识概要】函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性、凹凸性、最值等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.一、函数的概念二、函数的几个基本性质1．定义域2.图像3．值域(最值)4.单调性5．奇偶性6．周期性7．对称性8．反函数9．凹凸性10.连续性(极限)11.可导性(函数的变化率)三、数学思想、方法、观点1．一般与特殊2.函数方程3.数形结合4.构造5.抽象与概括【例题及练习】1．设X={-1,0,1},Y={-2,-1，0,1,2},且对X的所有元素x+f(x)均为偶数.则从x到y的映射f的个数是()A7B10C12D152.已知f:AB是从集合A到集合B的一个映射,bB,那么(1)存在aA,b,cB,且bc,使得f(a)=b,又f(a)=c;(2)存在aA,使f(a)B;(3)有且仅有aA,使f(a)=b;(4)至少有一个aA,使f(a)=b;以上命题中错误的个数为()A1个B2个C3个D4个3.设A是有限集，对任何x,yA,若xy,则x+yA.那么，A中元素个数的最大值为_____4.设集合M＝{a,b,c,d}，而a,b,c,d两两之和构成集合S＝｛5,8,9,11,12,15｝.则M＝______5.设集合RTSaxaxTxxS,8|,32|，则a的取值范围是A13aB13aC3a或1aD3a或1a6．定义在R上的函数y=f(x)，它具有下述性质：①对任意xR,都有f(x3)=f3(x)②对任何x1,x2R,x1x2,都有f(x1)f(x2)求f(0)+f(1)+f(-1)7.函数221()log(1)xfxx的定义域为．8.已知函数f(x)=12||4x的定义域是[a,b],值域是[0,1].则满足条件的整数对(a,b)共有（）个A2B5C6D无数9．已知函数f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x2-6x+2,其中x∈R，a,b为常数，则方程f(ax+b)=0的解集为.10.函数1011xxxf的反函数为xf1，则(A)xf1在其定义域上是增函数且最大值为1(B)xf1在其定义域上是减函数且最小值为0(C)xf1在其定义域上是减函数且最大值为1(D)xf1在其定义域上是增函数且最小值为011.设函数y=f(x)存在反函数y=f－1（x）,且函数y=x-f(x)的图象过点(1,2).则函数y=f－1(x)-x的图象一定过点.12.已知函数f(x)=)0(1)0(1xx,则不等式x+(x+2)f(x+2)5的解集为____13.已知函数0101xxxxxf，则不等式111xfxx的解集是(A)121|xx(B)1|xx(C)12|xx(D)1212|xx14.已知函数xxxxxf0,cos20,)(2，若2))((0xff，则0x__15.函数fxxxPxxM(),,，其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定fPyyfxxP(){|(),}，fMyyfxxM(){|(),}，给出下列四个判断：①若PM，则fPfM()()②若PM，则fPfM()()③若PMR，则fPfMR()()④若PMR，则fPfMR()()其中正确判断有（A）3个（B）2个（C）1个（D）0个16．已知f(x)=(31)4,1log,1aaxaxxx是（－,）上的减函数，那么a的取值范围是（）A（0,1）B（0，13）C[17,1)3D[17,1)17.f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间（0,6）内解的个数的最小值为（）A3B5C6D718.定义在R上的函数()fx满足：()(2)13fxfx，(1)2f，则(99)f（A）13（B）2（C）132（D）21319.已知函数f(x)=x2-cosx,对于［－22，］上的任意x1,x2,有如下条件：①x1x2;②x21x22;③|x1|x2.其中能使f(x1)f(x2)恒成立的条件序是.20.设奇函数()fx在(0)，上为增函数，且(1)0f，则不等式()()0fxfxx的解集为（）A．(10)(1)，，B．(1)(01)，，C．(1)(1)，，D．(10)(01)，，21.若函数(),()fxgx分别是R上的奇函数、偶函数，且满足()()xfxgxe，则有（）A．(2)(3)(0)ffgB．(0)(3)(2)gffC．(2)(0)(3)fgfD．(0)(2)(3)gff22.函数f(x)=x3+sinx+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为A.3B.0C.-1D.-223.若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是(A)f(x)为奇函数（B）f(x)为偶函数(C)f(x)+1为奇函数（D）f(x)+1为偶函数24.设f(x)是连续的偶函数，且当x0时f(x)是单调函数，则满足f(x)＝f3()4xx的所有x之和为(A)-3(B)3(C)-8（D）825.若函数(1)yfx的图像与函数ln1yx的图像关于直线yx对称，则()fx（）A．21xeB．2xeC．21xeD．22xe26.在同一平面直角坐标系中，函数()ygx的图象与xye的图象关于直线yx对称。而函数()yfx的图象与()ygx的图象关于y轴对称，若()1fm，则m的值是（）A．eB．1eC．eD．1e27.设函数f(x)＝｜x+1｜+｜x-a｜的图象关于直线x＝1对称，则a的值为A3B2C1D-128.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10.则实数对(a,b)为______29.若f(x)=21ln(2)2xbx在(-1,+)上是减函数，则b的取值范围是A.[-1，+∞)B.（-1，+∞）C.（-∞，-1）D.（-∞，-1）30.设函数)(1)(Rxxxxf，区间M=[a，b](ab)，集合N={Mxxfyy),(}，则使M=N成立的实数对(a，b)有（）(A)0个(B)1个(C)2个(D)无数多个31.若f(x)和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程xf[g(x)]=0有实数解，则g[f(x)]不可能是（）(A)x2+x51(B)x2+x+51(C)x251(D)x2+5132．21.定义在R上的函数f(x)满足f(0)=0,f(x)+f(1-x)=1,f(5x)=12f(x),且当0x1x21时，f(x1)f(x2).则f(12007)=()A12B116C132D16433.定义：区间[x1,x2](x1x2)的长度为x2-x1.已知函数y=|log12x|的定义域为[a,b]，值域为[0,2]，则区间[a,b]长度的最大值与最小值的差为____34.已知函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋l，g(x)＝mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是A．(0，2)B．(0，8)C．(2，8)D．(－∞，0)35．已知定义域为R的函数满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.(1)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a，求f(a)；(2)设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析式.36.已知函数f(x)在R上有定义，对任意实数a0和任意实数x，都有f(ax)=af(x).(1)证明：f(0)=0;(2)证明：f(x)=,(0),(0)kxxhxx,其中k和h均为常数;37.已知函数y=x+ax有如下性质：如果常数a0，那么该数在(0,a]上减函数，在[a，＋)上是增函数.(1)如果函数y=x+2bx(x0)的值域为[6,+),求b的值.(2)研究函数y=x2+2cx(常数c0)在定义域内的单调性，并说明理由.(3)对函数y=x+ax和y=x2+2ax(常数a0)作出推广，使它们都是你所推广的函数特例.研究推广后的常数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F(x)＝(x2+1x)n+(21x+x)n(n是正整数)在区间[12,2]上的最大值和最小值(可利用你的研究结论).38.定义在[-1,1]上的奇函数f(x)满足f(1)=1,且当a,b[-1,1]，0ab时，有()()0fafbab.(1)证明：f(x)是[-1,1]上的增函数；(2)证明：当113x时，f(x)3x;(3)若f(x)m2+2am+1对所有的x[-1,1]，a[-1,1]恒成立，求m的取值范围.39.设f(x)定义在N＋上，其值域BN＋,且对任意nN+,都有f(n+1)f(n),及f(f(n))=3n.(1)求证：f(1)=1;(2)求f(10)+f(11).40.A={(x,y)|x=n,y=na+b,nz},B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,mz}C={(x,y)|x2+y2144},是平面内的点的集合，讨论是存在实数a,b，使得①AB②(a,b)C同时成立41.函数f(x)的定义域为R，并满足以下条件：①对任意xR,有f(x)0;②对任意x,yR，有f(xy)=[f(x)]y;③f(13)1.(1)求f(0)的值；(2)求证：f(x)在R上是单调增函数；(3)若abc，且b2=ac,求证：f(a)+f(c)2f(b).