第五讲导数及其应用

惠州市学大信息技术有限公司HuizhouXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.第1页共11页个性化教学设计教案授课时间：2011年7月24日（8：00---10：15）备课时间：2011年7月20日年级：高二学科：数学课时：3学生姓名：课题名称第五讲导数及其应用授课教师：曾先兵教学目标1.导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景。（2）理解导数的几何意义。2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数(yCC为导数231),,,,,yxyxyxyyxx（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。（3）能求简单的复合函数（仅限于形如()faxb的复合函数）的导数。3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题5．定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。（2）了解微积分基本定理的含义。教学过程一、导数的概念及几何意义1．函数在x＝x0处的导数及导函数的概念．2．导数的几何意义：f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．二、导数运算1．求导公式(1)C′＝0(其中C为常数)；(2)(xn)′＝nxn－1(n∈Q)；(3)(sinx)′＝cosx；(4)(cosx)′＝－sinx；(5)(lnx)′＝1x，(logax)′＝1xlogae；(6)(ex)′＝ex，(ax)′＝axlna.2．导数的四则运算法则(1)(u±v)′＝u′±v′；(2)(uv)′＝u′v＋uv′；(3)uv′＝u′v－uv′v2(v≠0)；(4)y＝f[φ(x)]的导数y′x＝y′u·u′x(其中u＝φ(x))．三、导数的应用1．利用导数求曲线的切线．2．利用导数判断函数的单调性．(1)导数与单调性的关系：在某个区间内，如果f′(x)0(f′(x)0)，那么函数f(x)在这个区间内单调递增(减)；如果f′(x)＝0，那么函数在这个区间内是常数函数；如果f(x)在某个区间内是增(减)函数，则导数f′(x)≥0(f′(x)≤0)．(2)求单调区间的一般步骤：①确定定义域，②求f′(x)，③解不等式f′(x)0得函数的递增区间；解不等式f′(x)0得函数的递减区间．惠州市学大信息技术有限公司HuizhouXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.第2页共11页3．利用导数求函数的极值、最值．(1)求极值的一般步骤：①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号，左正右负极大值，左负右正极小值．(2)连续函数在闭区间[a，b]上必有最大值、最小值，先求出使方程f′(x)＝0的所有点的函数值，再与端点函数值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．4．利用导数综合研究函数的性质、函数的零点、方程的根、构造函数证明不等式等问题．四、定积分1．定积分的几何意义：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且f(x)≥0，那么abf(x)dx的几何意义是直线x＝a，x＝b，y＝0与曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．2．微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝F(b)－F(a)．1：利用导数研究曲线的切线求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数()yfx在点0xx的导数，即曲线()yfx在点00(,())Pxfx处切线的斜率；（2）在已知切点坐标00(,())Pxfx和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()yyfxxx。注：①当曲线()yfx在点00(,())Pxfx处的切线平行于y轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为0xx；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。例1：曲线2xyx在点1,1处的切线方程为（）（A）21yx（B）21yx（C）23yx（D）22yx2：利用导数研究导数的单调性利用导数研究函数单调性的一般步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数()fx；（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数()fx的定义域内解（或证明）不等式()fx＞0或()fx＜0。②若已知()fx的单调性，则转化为不等式()fx≥0或()fx≤0在单调区间上恒成立问题求解。惠州市学大信息技术有限公司HuizhouXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.第3页共11页例2：已知函数1()ln1()afxxaxaRx（1）当1a时，求曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程；（2）当12a时，讨论()fx的单调性.例3:已知函数f(x)＝(x3＋3x2＋ax＋b)e－x.如a＝b＝－3，求f(x)的单调区间；3：利用导数研究函数的极值与最值1．利用导数研究函数的极值的一般步骤：（1）确定定义域。（2）求导数()fx。（3）①或求极值，则先求方程()fx=0的根，再检验()fx在方程根左右值的符号，求出极值。（当根中有参数时要注意分类讨论）②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程()fx=0的根的大小或存在情况，从而求解。2．求函数()yfx的极值与端点处的函数值(),()fafb比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。惠州市学大信息技术有限公司HuizhouXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.第4页共11页例4：已知函数()()xfxxexR（Ⅰ）求函数()fx的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数()ygx的图象与函数()yfx的图象关于直线1x对称，证明当1x时，()()fxgx例5:已知函数f(x)＝x，g(x)＝alnx，a∈R.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值φ(a)的解析式；(3)对(2)中的φ(a)，证明：当a∈(0，＋∞)时，φ(a)≤1.惠州市学大信息技术有限公司HuizhouXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.第5页共11页课堂练习1.(1)a＝02xdx，b＝02exdx，c＝02sinxdx，则a、b、c大小关系是()A．acbB．abcC．cbaD．cab(2)由直线x＝12，x＝2，曲线y＝1x及x轴所围图形的面积为()A.154B.174C.12ln2D．2ln22.已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是()A．y＝2x－1B．y＝xC．y＝3x－2D．y＝－2x＋33.若曲线2yxaxb在点(0,)b处的切线方程是10xy，则（A）1,1ab(B)1,1ab(C)1,1ab(D)1,1ab4．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为()((0)0)StS，则导函数'()ySt的图像大致为5．若曲线12yx在点12,aa处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a[来（A）64（B）32（C）16（D）86．已知函数f(x)=In(1+x)-x+22kx，(k≥0)。(Ⅰ)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求f(x)的单调区间。惠州市学大信息技术有限公司HuizhouXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.第6页共11页7．设函数1xfxe．（Ⅰ）证明：当x＞-1时，1xfxx；（Ⅱ）设当0x时，1xfxax，求a的取值范围．8.已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x(a∈R)的一个极值点．(1)求a的值；(2)求f(x)的单调区间及极值．惠州市学大信息技术有限公司HuizhouXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.第7页共11页9.若函数f(x)＝ax2＋8x－6lnx在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝b.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)若对于任意的x∈[1,4]，恒有f(x)≤7lne2m＋ln(em)成立，求实数m的取值范围(其中e为自然对数的底数)．10.已知函数f(x)＝lnax－x－ax(a≠0)．(1)求此函数的单调区间及最值；(2)求证：对于任意正整数n，均有1＋12＋13＋…＋1n≥lnenn！.课后作业课后记学员学习情况：课后小评：教师建议：提交时间教研组长审批教研主任审批惠州市学大信息技术有限公司HuizhouXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.第8页共11页1.若函数()fx在R上可导，且2223fxxfx，则（）A．06ffB．06ffC．06ffD．无法确定2．函数)(xf在定义域R内可导，若)1()1(xfxf，且当)1,(x时，0)()1(xfx，设)0(fa，)21(fb，)3(fc，则（）A．cbaB．acbC．abcD．bac3．设函数fxgx、在,ab上可导，且''fxgx，则当axb时有()A．fxgagxfaB．fxgxC．fxgxD．fxgbgxfb4．设f'(x)是函数f(x)的导函数，y=f'(x)的图像如右图所示，则y=f(x)的图像最有可能的是（）5．32()32fxxx在区间[11]，上的最大值是（）A．2B．0C．2D．46．如图，函数)(xfy的图象在点P处的切线是l，则(2)(2)ff=（）．A．29B．0C．89D．不确定7．过原点作函数xey的图像的切线，则切点坐标是8．函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,kN其中，若a1=16，则a1+a3+a5的值是________9．函数32()15336fxxxx的单调减区间为。惠州市学大信息技术有限公司HuizhouXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.第9页共11页10．已知函数()3lnsfxaxxx.⑴当2a时，求函数()fx的最小值；⑵若()fx在[1,]e上是单调函数，求a的取值范围.11．已知函数32()33fxmxxx，mR．（Ⅰ）若函数()fx在1x处取得极值，试求m的值，并求()fx在点M(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）设0m，若函数()fx在(2,)上存在单调递增区间，求m的取值范围．惠州市学大信息技术有限公司HuizhouXueDaCenturyEducationTechnologyLtd.第10页共11页参考答案1．C2．D3．A4．C5．C6．C7．),1(e8．【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切