第五讲数列求和1

用孔子的教育思想来润泽每一个孩子子润教育1第五讲数列求和1．求数列的前n项和的方法(1)公式法①等差数列的前n项和公式Sn＝(a1＋an)n2＝na1＋n(n－1)2d②等比数列的前n项和公式Sn＝na1q＝1a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠1(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.2．常见的裂项公式(1)1nn＋1＝1n－1n＋1；(2)12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1；(3)1n＋n＋1＝n＋1－n.用孔子的教育思想来润泽每一个孩子子润教育2题型一分组转化求和例1已知数列{an}是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{an}通项公式并求其前n项和Sn.思维启迪先写出通项，然后对通项变形，分组后利用等差数列、等比数列的求和公式求解．解由已知得，数列{an}的通项公式为an＝3n＋2n－1＝3n－1＋2n，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2＋5＋…＋3n－1)＋(2＋22＋…＋2n)＝n2＋3n－12＋21－2n1－2＝12n(3n＋1)＋2n＋1－2.思维升华某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．求和Sn＝1＋1＋12＋1＋12＋14＋…＋1＋12＋14＋…＋12n－1.题型二错位相减法求和例2已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Sn.思维启迪(1)列方程组求{an}的首项、公差，然后写出通项an.(2)q＝1时，bn为等差数列，直接求和；q≠1时，用错位相减法求和．解(1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得3a1＋3d＝68a1＋28d＝－4，解得a1＝3d＝－1.故an＝3＋(n－1)·(－1)＝4－n.(2)由(1)得，bn＝n·qn－1，于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1.若q≠1，将上式两边同乘以q有qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn.两式相减得到(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1＝nqn－qn－1q－1＝nqn＋1－n＋1qn＋1q－1.于是，Sn＝nqn＋1－n＋1qn＋1q－12.用孔子的教育思想来润泽每一个孩子子润教育3若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.所以Sn＝nn＋12，q＝1nqn＋1－n＋1qn＋1q－12，q≠1.思维升华(1)错位相减法是求解由等差数列{bn}和等比数列{cn}对应项之积组成的数列{an}，即an＝bn×cn的前n项和的方法．这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练．(2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围．已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列an2n－1的前n项和．题型三裂项相消法求和例3在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S2n＝anSn－12.(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝Sn2n＋1，求{bn}的前n项和Tn.思维启迪第(1)问利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)后，再同除Sn－1·Sn转化为1Sn的等差数列即可求Sn.第(2)问求出{bn}的通项公式，用裂项相消法求和．解(1)∵S2n＝anSn－12，an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∴S2n＝(Sn－Sn－1)Sn－12，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，①由题意得Sn－1·Sn≠0，①式两边同除以Sn－1·Sn，得1Sn－1Sn－1＝2，∴数列1Sn是首项为1S1＝1a1＝1，公差为2的等差数列．∴1Sn＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝12n－1.(2)∵bn＝Sn2n＋1＝12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n－1－12n＋1)]＝121－12n＋1＝n2n＋1.用孔子的教育思想来润泽每一个孩子子润教育4思维升华利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝anan＋12，n∈N＋.(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)设bn＝12Sn，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.方法与技巧非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．失误与防范1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号．3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．1．(2012·大纲全国)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列1anan＋1的前100项和为()A.100101B.99101C.99100D.1011002．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn为()A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n2－23．已知数列{an}：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若bn＝1anan＋1，那么数列{bn}的前n项和Sn为()A.nn＋1B.4nn＋1C.3nn＋1D.5nn＋14．已知数列{an}是等差数列，若a9＋3a110，a10·a110，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得用孔子的教育思想来润泽每一个孩子子润教育5最小正值时，n等于()A．20B．17C．19D．215．已知函数f(n)＝n2当n为奇数时，－n2当n为偶数时，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于()A．0B．100C．－100D．102006．数列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋…＋ak＋…＋a10的值为()A．31B．120C．130D．1857．数列an＝1nn＋1，其前n项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为()A．－10B．－9C．10D．98．3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n＋2)·2－n＝________.9．数列32，94，258，6516，…的前n项和Sn为________．10．已知数列{an}是首项为a1＝14，公比为q＝14的等比数列，设bn＋2＝3log41an(n∈N＋)，数列{cn}满足cn＝an·bn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{cn}的前n项和Sn.11．已知数列{an}的前n项和Sn，满足：Sn＝2an－2n(n∈N＋)．(1)求数列{an}的通项an；(2)若数列{bn}满足bn＝log2(an＋2)，Tn为数列{bnan＋2}的前n项和，求证：Tn≥12.用孔子的教育思想来润泽每一个孩子子润教育612．若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求等比数列S1，S2，S4的公比；(2)若S2＝4，求数列{an}的通项公式；(3)在(2)的条件下，设bn＝3anan＋1，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tnm20对所有n∈N＋都成立的最小正整数m.