21随机变量及其分布函数-上海交通大学数学系首页

Ch2-1第二章随机变量及其分布为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律，引入随机变量来描述随机试验的不同结果例电话总机某段时间内接到的电话次数，可用一个变量X来描述例抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以用一个变量来描述⎩⎨⎧=反面向上正面向上,0,1)(ωXCh2-2§1随机变量的概念定义设E是一随机试验，Ω是它的样本空间，)(1则称Ω上的单值实值函数X(ω)为随机变量随机变量一般用X,Y,Z,…或小写希腊字母ξ,η,ζ表示1随机变量的概念ωΩωX实数按一定法则∃⎯⎯⎯→⎯∈∀若Ch2-3随机变量是→RΩ上的映射，这个映射具有如下的特点：‰定义域:Ω‰随机性:随机变量X的可能取值不止一个，试验前只能预知它的可能的取值但不能预知取哪个值‰概率特性:X以一定的概率取某个值或某些值Ch2-4‰引入随机变量后，用随机变量的等式或不等式表达随机事件‰在同一个样本空间可以同时定义多个随机变量‰随机变量的函数一般也是随机变量‰可以根据随机事件定义随机变量设A为随机事件，则可定义⎩⎨⎧∈∈=AAXAωω,0,1称XA为事件A的示性变量Ch2-5如，若用X表示电话总机在9:00~10:00接到的电话次数，}100{X或)100(X—某天9:00~10:00接到的电话次数超过100次则Ch2-6再如，用随机变量⎩⎨⎧=反面向上正面向上,0,1)(ωX描述抛掷一枚硬币可能出现的结果,则)1)((=ωX—正面向上也可以用⎩⎨⎧=反面向上正面向上,1,0)(ωY描述这个随机试验的结果Ch2-7例如，要研究某地区儿童的发育情况，往往需要多个指标，例如，身高、体重、头围等Ω={儿童的发育情况ω}X(ω)—身高Y(ω)—体重Z(ω)—头围各随机变量之间可能有一定的关系，也可能没有关系—相互独立Ch2-8随机变量的分类离散型随机变量非离散型随机变量—其中一种重要的类型为连续性随机变量Ch2-92随机变量的分布函数定义了一个x的实值函数，称为随机变量X的分布函数，记为F(x),即定义设X为随机变量,对每个实数x,随机事件)(xX≤的概率)(xXP≤+∞∞−≤=xxXPxF),()(Ch2-10利用分布函数可以计算)()()()()(aFbFaXPbXPbXaP−=≤−≤=≤)(1)(1)(aFaXPaXP−=≤−=（]ab]]（]Ch2-11分布函数的性质：‰F(x)单调不减，即)()(,2121xFxFxx≤∀‰1)(0≤≤xF且0)(lim,1)(lim==−∞→+∞→xFxFxx‰F(x)右连续，即)()(lim0xFtFxt=+→