第八章Black-Scholes模型

第八章Black-Scholes模型金融学是一门具有高度分析性的学科，并且没有什么能够超过连续时间情形。概率论和最优化理论的一些最优美的应用在连续时间金融模型中得到了很好地体现。RobertC.Merton，1997年诺贝尔经济学奖得主，在他的著名教科书《连续时间金融》的前言中写到：过去的二十年证明，连续时间模型是一种最具有创造力的多功能的工具。虽然在数学上更复杂，但相对离散时间模型而言，它能够提供充分的特性来得到更精确的理论解和更精练的经验假设。因此，在动态跨世模型中引入的真实性越多，就能够得到比离散时间模型越合理的最优规则。在这种意义上来说，连续时间模型是静态和动态之间的分水岭。直到目前为止，我们已经利用二项树模型来讨论了衍生证券的定价问题。二项树模型是一种离散时间模型，它是对实际市场中交易离散进行的一种真实刻画。离散时间模型的极限情况是连续时间模型。事实上，大多数衍生定价理论是在连续时间背景下得到的。与离散时间模型比较而言，尽管对数学的要求更高，但连续时间模型具有离散时间模型所没有的优势：（1）可以得到闭形式的解。这对于节省计算量、比较静态分析定价问题至关重要。（2）可以方便的利用随机分析工具。任何一个变量，如果它的值随着时间的变化以一种不确定的方式发生变化，我们称它为随机过程。如果按照随机过程的值发生变化的时间来分，随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。如果按照随机过程的值所取的范围来分，随机过程可以分为连续变量随机过程和离散变量随机过程。在这一章中，我们先介绍股票价格服从的连续时间、连续变量的随机过程：布朗运动和几何布朗运动。理解这个过程是理解期权和其他更复杂的衍生证券定价的第一步。与这个随机过程紧密相关的一个结果是Ito引理，这个引理是充分理解衍生证券定价的关键。本章的第二部分内容在连续时间下推导Black-Scholes欧式期权定价公式，我们分别利用套期保值方法和等价鞅测度方法。并对所需的参数进行估计。最后讨论标的股票支付红利的欧式期权定价问题。1．连续时间随机过程我们先介绍Makov过程。定义：一个随机过程0ttX称为Makov过程，如果预测该过程将来的值只与它的目前值相关，过程过去的历史以及从过去运行到现在的方式都是无关的，即tstsXXEXE（1）这里，ts，t表示直到时间t的信息。我们通常假设股票的价格过程服从Makov过程。假设IBM公司股票的现在的价格是100元。如果股票价格服从Makov过程，则股票一周以前、一个月以前的价格对于预测股票将来价格是无用的。唯一相关的信息是股票当前的价格100元。由于我们对将来价格的预测是不确定的，所以必须按照概率分布来表示。股票价格的Makov性质说明股票在将来任何时间的价格的概率分布不依赖于价格在过去的特殊轨道。股票价格的Makov性质与市场的弱形式的有效性有关。这说明股票现在的价格已经包含了隐含在过去价格中的有用信息。考虑一个随机过程的变量tX。假设它现在的值为10，在任何时间区间t内它的值的变化量，tttXX，服从正态分布tN,0，且不相交时间区间变化量视独立的。在任何两年内它的值的变化量为ttXX2，满足ttXX2=12ttXX+ttXX1由假设，12ttXX与ttXX1独立，且12ttXX服从1,0N，ttXX1服从1,0N。两个独立正态分布随机变量的和为正态分布随机变量，均值为各个均值的和，方差为各个方差的和。所以ttXX2服从正态分布2,0N在任何半年内，ttXX5.0服从正态分布5.0,0N不确定性于时间的平方根成比例。上面假设的过程称为布朗运动(Brownianmotion)，也称为Wienerprocess。这是一种特殊的Makov随机过程，在每年的变化量的均值为0，方差为1。定义：一个(标准的、1-维)布朗运动是一个连续的适应过程z={tz,t;0t}，其值域为R且满足如下性质：（1）00za.s.（2）对任意的0st,增量stzz独立于s，且服从以0为均值，以(t-s)为方差的正态分布。有时，我们将用到区间[0,T]上的布朗运动z={tz,t;0tT}，这里T0,这个概念可以类似地定义。性质：1）一个标准布朗运动既是Markov过程又是鞅。2）在任何小时间区间t内的变化量为tz这里是标准正态分布。3）任何两个小时间区间的变化量是独立的。考虑变量在时间T内的值的增加量0zzT。可以把它视为z在N个小时间区间t的增量的和，这里tTN因此NiiTtzz10（2）这里i视独立的标准正态分布。00zzETTtNzzT0var例子：推广的Wiener过程bdzadtdx（3）这里ba,视常数。为了理解（3），分别考虑它右边的两部分（1）adt说明x在单位时间的期望漂移率为aadtdx或者atxx0这里0x是x在时间0的值。（2）bdz是加在x轨道上的噪声或者扰动。在一个小时间区间t，x的变化量x为tbtax因此x服从正态分布taxEtbx2var在一个时间区间T，x的变化量0xxT为正态分布aTxxET0TbxxT20var所以推广的Wiener过程的期望漂移率为a，方差率为2b。Ito过程dztxbdttxadx),(),(（4）在一个小时间区间t，x的变化量x为ttxbttxax),(),(所以Ito过程在一个小时间区间t的期望漂移率为),(txa，方差率为2),(txb。Ito引理2.股票的价格过程我们讨论不支付红利股票价格服从的随机过程。假设的过程应该满足股票价格的一个关键特征：投资者要求的股票期望回报率应该独立于股票价格，股票回报率在短时间内的变动也应该独立于股票的价格。如下的Ito过程满足要求SdzSdtdS这里,为常数。我们称之为几何布朗运动。如果没有随机项，则tSS在极限状态下dtSdS例子：模型的离散时间版本为ttSS正态分布参数和对Sln利用Ito引理得到dzdtSd2ln2这说明Sln服从推广的Wiener过程。从而Sln在时间0和T之间的变化量过程正态分布NSST~lnln0TT,22即NST~lnTTS,2ln20TS的期望值TS的方差例子：股票在时间0和T之间连续复利回报率的分布：TTeSS0T,2~2例子：3.Black-Scholes公式：套期保值方法有许多种方法可以得到Black-Scholes期权定价公式。我们在本节中给出的方法尽管不是最短的，却是最直观、最具有创造性的一种方法。Black-Scholes-Merton微分方程是以不支付红利股票为标的物的衍生证券价格都必须服从的方程。得到这个方程是得到Black-Scholes期权定价公式的关键。Black-Scholes-Merton分析类似于二项树模型中的套期保值方法。由标的股票和期权构成的证券组合是无风险的，所以由无套利原理，该证券组合的回报率应该是无风险利率。能够构造无风险证券组合的原因在于，导致股票价格和期权价格风险的不确定因素是系统的：股票价格的波动。在任何短时间内，看涨期权价格和标的股票价格是完全正相关的。看跌期权价格和标的股票价格是完全负相关的。在任何情况下，利用股票和期权，通过恰当的构造证券组合，股票上的收益或者损失总是正好抵消期权上的损失或者收益。从而这个证券组合的回报是无风险的。这个特点事Black-Scholes-Merton分析的中心和得到定价公式的关键。例子：Black-Scholes-Merton分析和二项树模型之间的主要差别在于，在Black-Scholes-Merton分析中，证券组合是无风险的只是瞬间的事，收益必须时时刻刻调整股票和期权的头寸来保证无风险的性质。假设1：标的股票的价格)(tS服从如下的随机微分方程)()()(tdwdttStdS，xS)0(，这里，为常数，称为漂移项，可以视为股票的瞬时期望回报率，为常数，称为扩散项，可以视为股票的瞬时标准差，0ttw为标准布朗运动，x为常数。假设2：无风险债券的价格)(tB服从如下的方程dttrBtdB)()(，（5）这里，)0(B、r为常数。假设3：市场无摩擦（无交易成本，无买卖差价bid-askspread，无抵押，无卖空限制，无税收）假设4：无违约风险假设5：市场是完全竞争的假设6：价格一直调整到市场无套利下面，我们给出求Black-Scholes期权定价公式的方法。对于给定的欧式看涨期权，由于它的到期日支付是标的股票的函数，我们假设期权的价格为标的股票价格的函数ttSCct),(，这里，我们并不知道函数C的具体形式，只知道它在00,,T是两次连续可微的。对函数C利用Itô引理，我们得到)()(),()(tdwtSttSCdttdcxYt，tT，（6）这里，2221)(),(),()(),(tSttSCttSCtSttSCtxxtxY。下面，我们利用套期保值的思想，希望通过股票和债券构造证券组合来模拟欧式看涨期权的价格。假设自融资交易策略ab,=Ttbatt0:,满足此要求，这里，at表示在时间t购买的股票份数，bt表示在时间t购买的债券的份数，则tttctBbtSa)()(，tT0,。（7）由(5-4)、(5-5)和上式，我们得到)()(tdBbtdSadcttt)()()()(tdwtSadtrtBbtSattt，（8）通过比较(6)与(7)两式中)(tdw与dt的系数，我们来确定满足要求的自融资交易策略。首先，我们比较)(tdw的系数，得到ttSCaxt),(。由(7)，我们得到ttSCtBbtSttSCtx),()()(),(，从而)(),(),()(1tSttSCttSCtBbxt。其次，我们比较dt的系数，得到，对于tT有ttSCtrSttSCttSrCxt),()(),(),(0),()(2221ttSCtSxx(9)为了(9)成立，只需C满足如下的偏微分方程rCxtCxtrxCxtxCxttxxx,,,,12220，(10)xtT,,,00，方程（10）称为Black-Scholes-Merton微分方程。针对以股票为标的物的不同的衍生证券，该方程有不同的边界条件，解带边界条件的Black-Scholes-Merton微分方程就得到衍生证券的价格。注：1）证券市场是动态完备的，即任何证券都可以由股票和债券来模拟其支付。2）为了模拟衍生证券的价格，交易策略需要每时每刻进行调整。3）方程（10）的任何解是一种可交易的衍生证券的价格，如果这种衍生证券存在。不会产生任何套利机会，但如果一个函数),(tSf不是方程（10）的解，在不产生套利机会的条件下，它不会是某种衍生证券的价格。4）方程（10）不包含。例子：以不支付红利的股票为标的物的远期合约是一种衍生证券，它的价格)(tTrKeSf满足方程（10）：由欧式期权的到期日支付得边界条件KSTSC00,，,00S。(11)利用Feynman-Kac公式，通过解带边界条件(10)的偏微分方程(11)，我们得到Black-Scholes期权定价公式)()(2100dNKedNScrT（12）这里TTTrKSdf21ln01ddT21。根据平价公式我们可以欧式看跌期权的价格为)()(1020dNSdNKeprT