第八章_课件1

第八章微分方程的数值解法(简介)研究对象：微分方程。分为:1．常微分方程。方程+初值条件；2．偏微分方程。1）不含时间变量情形：方程+边值条件；2）含时间变量情形：方程+边值条件+初值条件。第一部分常微分方程的数值解法主要介绍一阶常微分方程的数值解法。因为：高阶常微分方程一阶常微分方程组，而一阶常微分方程组可被视为一个：一阶向量常微分方程。§1.Euler方法考虑一阶常微分方程初值问题：bxaxyxfxy)),(,()(（1.1）0)(yay(1.2)其中,),(yxf为yx,的已知函数,0y为给定的初值(实数).1.差分格式的建立Step1取],[ba的离散节点:bxxxaN10,第m步步长1mmmxxh,一般可取等步长:hhm,.,2,1NmStep2改写(1.1)hxxdxxyxfxyhxy))(,()()(,mmmmhxxmmRxyxhfxydxxyxfxyhxymm))(,()())(,()()(………………………………（1.3）其中,.1,2,1,0)),(,())(,(NmxyxhfdxxyxfRmmhxxmmmStep3略去mR,并记),(mmxyy则有:.1,2,1,0),,(),(11Nmyxfhyyyxhfyymmmmmmmm………………………………（1.4）)(0ayy………………………………（1.5）注:在Step2,我们采用了左矩形数值求积公式。若采用右矩形数值求积公式，则得隐式Euler格式：.1,2,1,0),,(111Nmyxfhyymmmm若采用梯形数值求积公式，则得改进的Euler格式：.1,2,1,0)],,(),([21111Nmyxfyxfhyymmmmmm2．误差分析记误差mmmyxy)(并假定：1）),(yxf在Rba],[上关于y满足Lipschitz条件，L为Lipschitz常数，即对任意的Ryybax~,ˆ],,[，都有：yyLyxfyxf~ˆ)~,()ˆ,(；2）),(yxf在Rba],[上关于x满足Lipschitz条件，K为Lipschitz常数，即对任意的Rybaxx],,[~,ˆ，都有：xxKyxfyxf~ˆ),~(),ˆ(；则：dxxyxfxyxfxyxhfdxxyxfRmmxxmmxxmmmmm))](,())(,([))(,())(,(1111))(,())(,())(,())(,(mmmmxxmmmxxmdxxyxfxyxfdxxyxfxyxf11)()(mmmmxxmxxmdxxyxyLdxxxK1)())((22mmxxmmmdxxxxxxyLKh2)(2hLMK，其中，))(,()(,10maxmax],[],[xyxfxyMbaxbax。记22hLMKR，则有RRm这表明：Euler格式的局部截断误差是2阶的！由(1.3)减去(1.4)得:mmmmmmmRyxfxyxfh)],())(,([1,RLhRLhmmmm)1(1,对任意,,2,1Nm有:RLhRLhRLhmmm)1()1()1(221]1)1()1()1[()1(210LhLhLhRLhmmmLhLhRLhmm1)1()1(0LheReabLabL1)(0)(hLeLMkeabLabL2)1)(()(0)(…………………(1.6)其中用到:)()()(]))(1[())(1())(1()1(abLabLabLNNmmeNabLNabLNabLLh由此可得:定理在我们的假定条件下,且当0h时,)(0ayy,则Euler格式(1.4)的解my一致收敛于(1.1)的真解)(mxy,且有估计式(1.6).§2.Runge-Kutta方法我们仍考虑一阶常微分方程初值问题：bxaxyxfxy)),(,()(（1.1）0)(yay(1.2)其中,),(yxf为yx,的已知函数,0y为给定的初值(实数).Runge-Kutta格式是最常用的差分格式。1．2阶Runge-Kutta格式)),,(21,21(1mmmmmmyxhfyhxhfyy……………………中点公式))],,(32,32(3),([411mmmmmmmmyxhfyhxfyxfhyy……Heun公式2.4阶Runge-Kutta格式以下古典Runge-Kutta格式是所有Runge-Kutta格式中最常用者：),22(643211kkkkhyymm其中，),,(1mmyxfk),2,2(12khyhxfkmm),2,2(23khyhxfkmm),(34hkyhxfkmm§3.2阶常微分方程边值问题的差分方法1．三类边值问题1）第一类边值问题：bxaxyxyxfxy)),(),(,()(，（3.1）)(,)(byay。(3.2)2）第二类边值问题：bxaxyxyxfxy)),(),(,()(，（3.3）)(,)(byay。(3.4)3）第三类边值问题：bxaxyxyxfxy)),(),(,()(，（3.5）1010)()(,)()(bybyayay，(3.6)其中，0,0000,0。2．差分格式的建立针对方程（3.1）而言.Step1取],[ba的离散节点:bxxxaN10,第m步步长1mmmxxh,一般可取等步长:hhm,.,2,1NmStep2将)(mxy用二阶差商、)(mxy用一阶差商近似：Nmhxyxyxyxymmmm,2,1,)()(2)()(211，Nmhxyxyxymmm,2,1,2)()()(11.理由：由Taylor展开，有)(!3)(!2)()()()(321mmmmmmxyhxyhxyhxyhxyxy1)4(4),(!4mmmmxxyh)(!3)(!2)()()()(321mmmmmmxyhxyhxyhxyhxyxymmmmxxyh111)4(4),(!4两式相加得1,2,1),(12)()(2)()()4(2211Nmyhhxyxyxyxymmmmm，其中，mmmxx1.两式相减得1,2,1),~(62)()()(211Nmyhhxyxyxymmmm，其中，mmmxx~1.Step3略去)(2hO项,并记),(mmxyy则由方程(3.1)有:.1,2,1,0),2,,(211211Nmhyyyxfhyyymmmmmmm………………………………（3.7）所以得到第一边值问题(3.1)-(3.2)的差分格式:.1,2,1,0),2,,(211211Nmhyyyxfhyyymmmmmmm…(3.8)Nyy,0.…………………………(3.9)对第二边值条件(3.3),由于)ˆ(2)()()(),ˆ(2)()()(10010NNNNyhhxyxyxyyhhxyxyxy,其中，100ˆxx,NNNxxˆ1,已及),(2)()(4)(3)(22100hOhxyxyxyxy),(2)()(4)(3)(221hOhxyxyxyxyNNNN所以可得到第二类边值问题(3.3)-(3.4)的差分格式:.1,2,1,0),2,,(211211Nmhyyyxfhyyymmmmmmm…(3.10),243210hyyyhyyyNNN24321.………(3.11)类似可得第三类边值问题(3.5)-(3.6)的差分格式(略).3.线性问题的差分格式的求解假定yxpyxqxryyxf)()()(),,(,则方程组(3.8)-(3.9)和(3.10)-(3.11)都是线性的.(3.8)成为.1,2,1,0),2)()()(211211Nmhyyxpyxqxrhyyymmmmmmmmmmmmmmmmrhyphyqhyph2121)21()2()21(,1,2,1Nm,………(3.12)其中,)(),(),(mmmmmmxrrxqqxpp.令,),21(,2),21(22mmmmmmmmrhbphcqhdpha则(3.12)即mmmmmmmbycydya11,1,2,1Nm,第一边值问题(3.1)-(3.2)的差分格式(3.8)-(3.9)为:,112111abycydmmmmmmmbycydya11,1,2,1Nm,.111121NNNNNNcbydya写成矩阵形式为:11221112211122222211NNNNNNNNNNcbbbabyyyydacdacdacd,这是一个三对角线性代数方程组,可用追赶法求解.第二部分偏微分方程的数值解法---差分法仅以以下2阶偏微分方程边值问题为例.inyxfyxuyxryxuyxqyxuyxpyxuyxuyxyyxx),,(),(),(),(),(),(,),(),(…………………………(2.1)onyxyxu),,(),(…………………………(2.2)其中,),(),,(),,(),,(),,(yxryxqyxpyxyxf都是已知函数,dycbxayx,:),(.Step1取],[ba的离散节点:bxxxaN10,第i步步长1iiixxh,一般可取等步长:hhi,.,2,1Ni再取],[dc的离散节点:dxyycM10,第j步步长1jjjyyk,一般可取等步长:kkj,.,2,1Mj于是得到网格点MjNiyxji,2,1,0,,2,1,0:),(.Step2将偏导数用差商近似：,),(),(2),(),(211hyxuyxuyxuyxujijijijixxMjNi,1,0,1,2,1,),(),(2),(),(211kyxuyxuyxuyxujijijijiyy1,1,,2,1,0MjNiMjNihyxyyxuyxujijijix,1,0,1,2,1,2),(),(),(11,1,1,,2,1,0,2),(),(),(11MjNikyxyyxuyxujijijiyStep3记),(),,(),(),,(),,(,,,,,jijijijijijijijijijiyxffyxrryxqqyxppyxuu则由在坐标点),(jiyx处的方程(2.1):1,2,1,1,2,1),,(),(),(),(),(),(),(),(),(MjNiyxfyxuyxryxuyxqyxuyxpyxuyxujijijijiyjijixjijiyyjixx及边界条件(2.2)5点差分格式,1,2,1,1,2,1,2222,,,1,1,,,1,1,21,,1,2,1,,1MjNifurkuuqh