第八章圆锥曲线方程

课题：椭圆一．复习目标：熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程．二．知识要点：1．椭圆的定义（1）第一定义：．（2）第二定义：．2．标准方程：．3．几何性质：．4．参数方程．三．课前预习：1．设一动点到直线的距离与它到点的距离之比为，则动点的轨迹方程是（）2．曲线与曲线之间具有的等量关系（）有相等的长、短轴有相等的焦距有相等的离心率有相同的准线3．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，长、短轴都在坐标轴上，过点，则椭圆的方程是．4．底面直径为的圆柱被与底面成的平面所截，截口是一个椭圆，该椭圆的长轴长，短轴长，离心率为．5．已知椭圆的离心率为，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转后，所得新椭圆的一条准线方程是，则原来的椭圆方程是；新椭圆方程是．四．例题分析：例1．设是两个定点，且，动点到点的距离是，线段的垂直平分线交于点，求动点的轨迹方程．例2．已知椭圆，为椭圆上除长轴端点外的任一点，为椭圆的两个焦点，（1）若，，求证：离心率；（2）若，求证：的面积为．例3．设椭圆的两个焦点是，且椭圆上存在点，使得直线与直线垂直．（1）求实数的取值范围；（2）设是相应于焦点的准线，直线与相交于点，若，求直线的方程．五．课后作业：1．是椭圆上的一点，和是焦点，若，则的面积等于（）2．已知椭圆的左焦点为，为椭圆的两个顶点，若到的距离等于，则椭圆的离心率为（）3．椭圆与椭圆，关于直线对称，则椭圆的方程是___________________．4．到两定点的距离和等于的点的轨迹方程是．5．已知椭圆的离心率，则的值等于．6．如图，中，,,面积为1，建立适当的坐标系，求以、为焦点，经过点的椭圆方程．7．是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，是的中点，是椭圆的中心，求证：为定值．8．已知椭圆，能否在此椭圆位于轴左侧的部分上找到一点，使它到左准线的距离为它到两焦点距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由．课题：双曲线一．复习目标：熟练掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．二．知识要点：1．双曲线的定义（1）第一定义：．（2）第二定义：．2．标准方程：；与共渐进线的双曲线方程．3．性质：．4．共轭双曲线方程：．三．课前预习：1．平面内有两个定点和一动点，设命题甲，是定值，命题乙：点的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的（）充分但不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件2．双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为，则应满足的关系是（）3．直线与双曲线有公共点时，的取值范围是（）以上都不正确4．已知，是曲线上一点，当取最小值时，的坐标是，最小值是．5．如果分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线左支上过点的弦，且，则的周长是．四．例题分析：例1．已知双曲线的左右焦点分别为，左准线为，能否在双曲线的左支上求一点，使是到的距离与的等比中项？若能，求出的坐标，若不能，说明理由．例2．过双曲线的右焦点作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的左、右支的交点分别为．（1）求证：在双曲线的右准线上；（2）求双曲线离心率的取值范围．例3．是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由．（1）渐近线方程为；（2）点到双曲线上动点的距离最小值为．五．课后作业：1．双曲线的渐进线方程为，且焦距为10，则双曲线方程为（）或2．双曲线的离心率，则的取值范围是（）3．双曲线上一点的两条焦半径夹角为，为焦点，则的面积为．4．与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹方程为．5．过点作直线，如果它与双曲线有且只有一个公共点，则直线的条数是____________________．6．双曲线的一条准线被它的两条渐进线所截得的线段长度恰好等于它的一个焦点到一条渐进线的距离，则该双曲线的离心率为．7．过双曲线的一个焦点且垂直于实轴的弦，若为另一个焦点，且有，则此双曲线的离心率为．8．一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为，一双曲线和这椭圆有公共焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4，且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7:3，求椭圆和双曲线的方程．9．设双曲线两焦点，点为双曲线右支上除顶点外的任一点，，求证：．10．已知双曲线的两个焦点为，实半轴长与虚半轴长的乘积为，直线过点，且与线段的夹角为，，直线与线段的垂直平分线的交点为，线段与双曲线的交点为，且，求双曲线方程．课题：抛物线一．复习目标：掌握抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质．二．知识要点：1．定义：．2．标准方程：．3．几何性质：4．焦点弦长：过抛物线焦点的弦，若，则，，，．5．抛物线的焦点为，是过焦点且倾斜角为的弦，若，则；；．三．课前预习：1．已知点，直线：，点是直线上的动点，若过垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则点所在曲线是（）圆椭圆双曲线抛物线2．设抛物线的焦点为，以为圆心，长为半径作一圆，与抛物线在轴上方交于，则的值为（）81843．过点的抛物线的标准方程是．焦点在上的抛物线的标准方程是．4．抛物线的焦点为，为一定点，在抛物线上找一点，当为最小时，则点的坐标，当为最大时，则点的坐标．四．例题分析：例1．抛物线以轴为准线，且过点，证明：不论点在坐标平面内的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹的离心率是定值．例2．已知抛物线，过动点且斜率为的直线与该抛物线交于不同两点，，（1）求取值范围；（2）若线段垂直平分线交轴于点，求面积的最大值．例3．已知抛物线与圆相交于两点，圆与轴正半轴交于点，直线是圆的切线，交抛物线与，并且切点在上．（1）求三点的坐标．（2）当两点到抛物线焦点距离和最大时，求直线的方程．五．课后作业：1．方程表示的曲线不可能是（）直线抛物线圆双曲线2．以抛物线的焦半径为直径的圆与轴位置关系是（）相交相切相离以上三种均有可能3．抛物线的顶点坐标是，焦点坐标是，准线方程是，离心率是，通径长．4．过定点，作直线与曲线有且仅有1个公共点，则这样的直线共有条．5．设抛物线的过焦点的弦的两个端点为Ａ、Ｂ，它们的坐标为，若，那么．6．抛物线的动弦长为,则弦的中点到轴的最小距离为．7．抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，上动点到直线的最短距离为1，求抛物线的方程．8．是抛物线上的两点，且，（1）求两点的横坐标之积和纵坐标之积；（2）求证：直线过定点；（3）求弦中点的轨迹方程；（4）求面积的最小值；（5）在上的射影轨迹方程．课题：直线与圆锥的位置关系（1）一．复习目标：1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；2．会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题．二．知识要点：1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法：直线：和曲线的公共点坐标是方程组的解，和的公共点的个数等于方程组不同解的个数．这样就将和的交点问题转化为方程组的解问题研究，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便．2．弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）．三．课前预习：1．直线与抛物线，当时，有且只有一个公共点；当时，有两个不同的公共点；当时，无公共点．2．若直线和椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为．3．抛物线与直线交于两点，且此两点的横坐标分别为，，直线与轴的交点的横坐标是，则恒有（）4．椭圆与直线交于两点，的中点为，且的斜率为，则的值为（）5．已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（）条条条条四．例题分析：例1．过点的直线与抛物线交于两点，若，，求的斜率．例2．直线与双曲线的右支交于不同的两点，（I）求实数的取值范围；（II）是否存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．例3．已知直线和圆：相切于点，且与双曲线相交于两点，若是的中点，求直线的方程．五．课后作业：1．以点为中点的抛物线的弦所在的直线方程为（）2．斜率为的直线交椭圆于两点，则线段的中点的坐标满足方程（）3．过点与抛物线只有一个公共点的直线的条数是（）4．已知双曲线与直线的两个交点关于轴对称，则这两个交点的坐标为．5．与直线的平行的抛物线的切线方程是．6．已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是（是大于0的常数）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆上的一点，且过点的直线与轴交于点，若，求直线的斜率．7．一个正三角形的三个顶点都在双曲线的右支上，其中一个顶点是双曲线的右顶点，求实数的取值范围．8．已知直线与双曲线相交于两点．是否存在实数，使两点关于直线对称？若存在，求出值，若不存在，说明理由．课题：直线与圆锥曲线的位置关系（2）一．复习目标：1．能利用弦长公式解决直线与圆锥曲线相交所得的弦长的有关问题，会运用圆锥曲线的第二定义求焦点弦长；2．体会“设而不求”、“方程思想”和“待定系数”等方法．二．知识要点：1．弦长公式．2．焦点弦长：（点是圆锥曲线上的任意一点，是焦点，是到相应于焦点的准线的距离，是离心率）三．课前预习：1．设直线交曲线于两点，（1）若，则．（2），则．2．斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，则．3．过双曲线的右焦点作直线，交双曲线于两点，若，则这样的直线有（）条条条条4．已知椭圆，则以为中点的弦的长度是（）5．中心在原点，焦点在轴上的椭圆的左焦点为，离心率为，过作直线交椭圆于两点，已知线段的中点到椭圆左准线的距离是，则．四．例题分析：例1．如图，过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于，（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点的距离；（2）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的斜率是非零常数．例2．椭圆的中心是原点，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于两点．（I）求椭圆的方程及离心率；（II）若求直线的方程；（III）设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明．例3．已知倾斜角为的直线过点和点，在第一象限，.(1)求点的坐标；（2）若直线与双曲线相交于、两点，且线段的中点坐标为，求的值；（3）对于平面上任一点，当点在线段上运动时，称的最小值为与线段的距离.已知点在轴上运动，写出点到线段的距离关于的函数关系式.五．课后作业：1．过双曲线的右焦点作垂直于实轴的弦，是左焦点，若，则双曲线的离心率是（）2．过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点，若线段与的长分别是，则等于（）3．直线与椭圆交于、两点，则的最大值是（）4．过抛物线的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，且则．5．若过椭圆右焦点且倾斜角为的直线与椭圆相交所得的弦长等于，则．6．设抛物线，内接于抛物线，为坐标原点，所在的直线方程为，，求抛物线方程．7．已知某椭圆的焦点是，过点并垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，且．椭圆上不同的两点满足条件：成等差数列．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）求弦中点的横坐标；（Ⅲ）设弦垂直平分线的方程为，求的取值范围．8．设双曲线与直线相交于两个不同的点．（1）求双曲线的离心率的取值范围；（2）设直线与轴的交点为，且，求的值．课题：轨迹问题（1）一．复习目标：1．掌握求轨迹方程的两种基本方法——直接法和定义法；2．掌握直接法求轨迹方程的基本步骤．二．知识要点：1．直接法求轨迹方程的一般步骤：建系—设点—列式—代换—化简—检验2．用定义法求轨迹方程的基本思路是：（1）用曲线的定义判断轨迹的形状（定型）；（2）判断轨迹的位置（定位）（3）求曲线的基本量（定量）；（4）写出轨迹方程．三．课前预习：1．已知点、，动点，则点P的轨迹是（D）圆椭圆双曲线抛物线2．若，则点的轨迹是（）圆椭圆双曲线抛物线3．点与点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程是4．一动圆与圆外切，而与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（右支）5．已知椭圆的两个焦点分别是F1，F2，P是这个椭圆上的一个动点，延长F1P到Q，使得｜PQ｜＝｜F2P｜，求Q的轨迹方程是．四．例题