第八章多元函数微分法及其应用学习指导

1第八章多元函数微分法及其应用学习指导一、知识脉络数函元二条件极值无条件极值极值泰勒展开式方向导数几何应用偏导数的应用全微分偏导数连续二次极限二重极限极限概念.4.3.2.1.6.5.4.3.2.1二、重点和难点1．重点：求极限、求偏导数、求全微分、求极值。2．难点：极限存在、连续、偏导数存在、可微之间的关系，复合函数求偏导数。三、问题与分析1．yxfyyxx,lim00与yxfPP,lim0沿某直线超于仅当前者存在时，才相等。2．二重极限、连续、偏导数存在、可微间的关系3．多元函数中极限、连续、偏导数的运算法则、一阶微分形式的不变性、初等函数的连续性、最值定理、介值定理均与一元函数中相应内容和结论对应。4．二重极限与二次极限是本质不同的两个概念。(1)当动点yxP,沿任意路径趋于00,yx时，若yxf,都以同一数值为其极极限连续偏导数存在可微2限，则这样得到的极限为二重极限；当x，y先后相继地趋于0x，0y时的极限为二次极限。(2)两个二次极限存在且相等，不能得出二重极限存在。例如：22,yxxyyxf，容易验证两个二次极限0,limlim,limlim0000yxfyxfxyyx，但是yxfyx,lim00不存在。(3)二重极限存在，不能得出二次极限存在。例如：yxyxyxf1sin1sin,，因为yxf,在不含有两个坐标轴的平面点集上有定义，当0,0,yxP时，有0yx。由于有界变量与无穷小量的乘积仍是无穷小量，可得01sin1sinlim,lim0000yxyxyxfyxyx，对任意给定的0y，由于01sin1sinlim0yxxx，而yxyx1sin1sinlim0不存在，所以yxyxx1sin1sinlim0不存在。因此先对x后对y的二次极限yxfxy,limlim00不存在。同理yxfyx,limlim00也不存在。5．学习二次极限应注意以下三个问题：(1)两个二次极限分别存在时不能保证它们一定相等，因此不能任意地交换求极限的先后顺序。例：2222,yxyxyxf，则1,limlim00yxfxy，1,limlim00yxfyx。(2)二次极限中一个存在，另一个可以不存在。例：yxyxxyxf1sin,，容易验证1,limlim00yxfxy，而yxfyx,limlim00不存在。(3)两个二次极限都可以不存在。3例：yxyxyxf1sin1sin,。容易验证yxfxy,limlim00与yxfyx,limlim00都不存在。6．学习多元复合函数的求导应注意的问题：求多元复合函数的导数，关键是搞清各个变量之间的复合关系，常用一种“树形图”的图形直观地给出因变量、中间变量及自变量的关系，帮助我们记忆公式，以便进行正确运算。例如：yxfz,，yxuu,，yxvv,画出“树形图”则xvvzxuuzxzyvvzyuuzyz7．学习方向导数应注意的问题(1)lf是单侧极限。因为22yx，所以0实际上是0。(2)xf是双侧极限。0x时，x可正、可负，因此0时，lf与xf不一定相等，2时，lf与xf也不一定相等。(3)梯度yfxfyxgradf,,是一个向量，当l的方向与梯度方向相同时，方向导数lf达到最大值|,|yxgradf。8．最小二乘法在数学建模中有广泛的应用，要注意领会其精神实质。四、解题示范例1：求xyxyyx42lim00解：原式41421lim4244lim0000xyxyxyxyyxyx一般地，用定义证明yxfyyxx,lim00二重极限不存在有二种途径：zuvyx4(1)找到两条特殊的途径，得出yx,沿这两条途径趋于00,yx时，yxf,的极限值不等；(2)找到一条特殊的途径证明yx,沿此途径趋于00,yx时，yxf,的极限不存在。例2：求2222200limyxyxyxyx解：当动点yxP,沿xy趋于0,0时，则1limlim4402222200xxyxyxyxxyx当动点yxP,沿xy2趋于0,0时，则044limlim24402222200xxxyxyxyxxyx故原极限不存在。例3：求221lnyxz当1x，2y时的全微分。解：因2212yxxxz，2212yxyyz3121yxxz，3221yxyz故dydxdzyx323121。例4：求xyzxyxfu,,的一阶偏导数，其中f具有一阶连续偏导数。解：将三个中间变量按顺序编为1，2，3号，画出“树形图”故yzfyffxu3211321fyzfyfxzfxfyu3232fxzfxu=fx(1)xy(2)xyz(3)xyz533fxyxyfzu例5：求函数xyzu在点2,1,5处沿从点2,1,5到点14,4,9的方向的方向导数。解：12,3,4214,14,59l131234222134cos，133cos，1312cos因为coscoscoszuyuxuluxyxzyz1312133134所以1398513121013321342,1,5lu例6．设222vux，uvy，取u，v作为新自变量，试变换方程0222222zayzxz。解：yzvxzuuyyzuxxzuz，yzuxzvvyyzvxxzvzvyzuxyzvvyxzuxzuxzuz222222222222222yzvyxzuvxzuxzuyzvxyzuuyxzvxzvxzvz2222222222222222yzuxyzuvxzvxz故2222222222yzxzvuvzuz6即022222222zvuaavzuz7．设yxzz,由xytdtdzz0ln2确定，求yxz2。解：由xytdtezz0ln2两边对x求导：012xexzzxz从而12zzexzx(1)原式两边对y求导012yeyzzyz从而12zzeyzy(2)(1)式两边对y求导221122zyzzezeyzyxzxxyzzex212将(2)代入得：32122zzeyxzyx