第八章多元函数的微分法及其应用练习题

第8章多元函数的微分法及其应用§8.1多元函数的基本概念一、填空题1．已知22),(yxxyyxf，则f(x,y)=。2．函数)1ln(4222yxyxZ的定义域为。3．11lim00xyxyyx=。二、判断题1．如果P沿任何直线y=kx趋于（0，0）,都有APfkxyx)(lim0，则Ayxfyx)(lim00。（）2．从0)0,(lim0xfx和2)2,(lim0xxfx知),(lim00yxfyx不存在。（）3．下面定义域的求法正确吗？)ln(11),(yxyxyxf解：012)2()1()2(0)1(01xyxyx所以定义域为x1/2的一切实数。三、选择题1．有且仅有一个间断点的函数是（）（A）、xy（B）、)22ln(yxex（C）、yxx（D）、arctanxy2.下列极限存在的是（）（A）、yxxyx00lim（B）、yxyx1lim00（C）、yxxyx200lim（D）、yxxyx1sinlim00四、求下列函数的定义域，并画出定义域的图形。1．yxyxz112.221)ln(yxxxyz3．)]1)(9ln[(2222yxyxz五、求下列极限，若不存在，说明理由。1．22101limyxxyyx2.222200cos1limyxyxyx3．yxxyx00lim§8.2偏导数一、判断题1．如果f(x,y)在(x0,y0)处，xf存在，则一元函数f(x,y0)在（x,y0）处连续。（）2．如果f在P处不连续，则f在点P偏导数均不存在。（）3．00,0)],([0)(xxyxyxfdxdxf（）二、填空题1.设f(x,y)=22yxxxy,则)1,0(xf。)1,0(yf。2.设u(x,y)有对x,y的连续偏导，且当y=x2时，xxuyxu满足),(，y=x(x0)时，yu=。三、选择题1.f(x,y)在(x0,y0)处xf，yf均存在是f(x,y)在(x0,y0)处连续的（）条件。（A）、充分（B）、必要（C）、充分必要（D）、既不充分也不必要2．已知xf0，则（）（A）、f(x,y)关于x为单调递增（B）、f(x,y)0（C）、22xf0（D）、f(x,y)=x(y2+1)3.设函数Z=f(x,y),22yf=2,且f(x,0)=1,)0,(xfyx,则f(x,y)=()(A)、x2+xy-1(B)、y2+xy+1（C）、y2+xy+c（D）、x2+xy+y2+1四、求下列函数的一阶偏导数。1.z22lnyx2.uyxarctanln3.u=zyx4.F(x,y)=dxedssfxxyy102)(5.z=(1+xy)xy6.f(x,y)=yxyxarcsin)1(五、求下列函数的二阶偏导数。1.z=x4+y4-4x2y22.u=ln222zyx3.u=yxarctan4。yxz六、设z=yxe11，求证：zyzyxzx222七、若u=yxzarctan，求证：0222222Zuyuxu八、求f(x,y)=22yx在（0，0）点的偏导数。九、设f(x,y,z)=xy2+yz2+zx2,求)1,0,0(xxf，)2,0,1(xyf，)1,0,0(yyxf。§8.3全微分及其应用一、判断题1.如果f(x,y)在(x0,y0)满足条件：)(0,0yxfx，)(0,0yxfy存在且连续，则f(x,y)在(x0,y0)可微。（）2.f(x,y)有二阶连续偏导且df=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,则yPxQ（）二、填空题1.F(x,y,z)=zyx1)(,则df(1,1,1)=。2.设Z=ln(x+y2),则)0,1(dz=。三、选择题1．在点P处，f可微的充分条件是（）（A）、f的全部二阶偏导连续。（B）、f连续（C）、f的全部一阶偏导连续。（D）、f连续且xf，yf均存在。2．肯定不是某个二元函数的全微分的为（）（A）、ydx+xdy(B)、ydx-xdy（C）、xdx+ydy（D）、xdx-ydy3.使fdf的函数f为（）（A）、ax+by+c（B）、sinxy（C）、ex+ey（D）、x2+y2四、求下列函数的全微分.1.z=exysin(x+y)2.u=xxyz3.z=xxy)sec(4.)1,1(22,1lndzyxz求五、设0,00,),(222222yxyxyxxyyxf讨论f(x,y)在（0，0）（1）.偏导数是否存在。（2）.是否可微。§8.4多元复合函数的求导一、判断题1．f(x,y)具有一阶连续偏导，u=f(x,y,z)则xu=xf（）2．设z=z（x,y）有二阶连续偏导，变换byxvayxu把6xz22+yxz2-yz22=0简化为vuz2=0，则常数a,b满足条件：a=3,b=3()二、填空题1.z=xy+x3,则xz+yz=。2.z=),sin(xyyefx，其中f(x,y)可微,则xz=。3.设,),(),(1fyxyyxfxz有二阶连续导数。则yxz2=。三、选择题1．设z=sin(xy2)，则y1xz+x21yz=（）（A）、cos(xy2)（B）、2ycos(xy2)（C）、2xcos(xy2)（D）、ycos(xy2)2.z=f(x,y,z),则xz=（）（A）、xf（B）、xf/yf（C）、xf/（1-zf）（D）、（xf+yfxy）/（1-xf）四、设u=222zyxe,z=x2siny,求xu，yu。五、设u=f(xy,x2+y2)且f可微，求xu，yu。六、设dxduxzxayazyxeua求,cos,sin,1)(2。七、已知z=f(x2y,ln(xy)),xz,yxz2.。八、设z=f(u,x,y),u=xey.f有连续偏导，求xz，yz。九、若z=f(ax+by),f可微，求证：bxz-ayz=0.十、若f(x+y,x-y)=x2-y2,求证：xf+yf=x+y十一、u=xf(2x+3y,ey+z),求22yu十二、设函数u满足xu+yu+zu=0，作变换xzxyux,,，求证：u=0§8.5隐函数求导一、填空题1．由方程2222zyxxyz确定的函数z=z（x,y）,在点（1，0，-1）处的全微分dz=。2.设zsin(x+2y-3z)=x+2y-3z,则xz+yz=。3.设)(22yzyzx，其中可微，则yz=。二、选择题1设z=z(x,y)由方程yzF（x-az,y-bz）确定，其中F（u,v）可微，a,b为常数，则（）（A）、axz-byz（B）、bxz-ayz（C）、axz+yzb（D）、bxz+ayz2设z==z(x,y)由方程x2+y3-xyz2=0确定，yxxz+yyz=()(A)、xyzyx23232(B)、xyzyx23222(C)、xyzyx22332（D）、xyzyx22323三、设yexyxsin2确定y与x的函数。用两种方法求dxdy。四、由x+y+z=xyz确定z是xy的函数，求dz。五、x3-3xyz=a3,求yxz2。六、设22vuyvux，求xu，yu。xv，yv。七、设z=f(u),u=(u)+xydttP)(确定u=u(x-y),,f连续且可微，,1)(u求证：P（u）xz+P(x)yz=0八、设f(x,y)=dtexyt02,求证：22xfyx-yxf22+22yfxy+222yxe=0。§8.6微分在几何上的应用一、判断题1．T为曲线T在t0处的切向量，则-T也为切向量。（）2．曲面F(x,y,z)=0一般有两个法方向，如果FZ0,法向量h={Fx,Fy,Fz}一定指向曲面.（）3．xoy平面中曲线F（yx）=0的一个法向量为{Fx,Fy}（如果Fx,Fy不全为0）。（）二、填空题1．曲线x=t3,y=t2,z=t在点（1，1，1）的切向量T=。2．x2+y2+z2=12在点（2，-2，2）的切平面方程为。三、选择题1．曲面Z=F(x,y,z)的一个法向量为（）（A）{1,,zyxFFF}（B）{1,1,1zyzFFF}（C）{,,,zyxFFF}（D）{1,,yzFF}2．旋转抛物面z=2x2+2y2-4在点（1，-1，0）处的法线方程为（）（A）14141zyx（B）14141zyx（C）14141zyx（D）44111zyx四、求曲线l：x=cost,y=sint,z=2t在t=处的切线和法平面方程。五、求曲线10222zyxzyx在点M0（61,62,61）处的切线方程。六、求曲面Z=xy在（1，2，2）处的切平面与法线方程。七、求曲线x=t2,y=t,z=t3上的点使该点的切线平行于平面2x+y+z=4.八、设M（1，-1，2）为曲面Z2=)(yxf上的一点，且2)1,1(xf，2)1,1(yf，求曲面在点M处的切平面指向该曲面下侧的法向量xon与轴正向的夹角的余弦。九、求证Ax2+By2+Cz2=D上任一点（x0,y0,z0）处的切平面方程为Ax0x+By0y+Cz0z=D.§8.7方向导数与梯度一、判断题1．l平行于z轴，则xflf。（）2．若yx,均存在，则),(yx任何方向的方向导数均存在。（）二、填空题1．函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与，而它的模为方向导数的。2．设f(x,y,z)=ln(x2+y2+z2)，则)2,1,1(fdgra。三、选择题1．设n是曲面2x2+3y2+z2=6在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,则zyxu2286在点P沿n方向的方向导数为（）(A){141,143,142}(B)711(C)117(D)22.已知V=（x,y,z）=Vdgraczbyax则,222222()（A）{2222,2,2czbyax}（B）224242444czbyax（C）{2x，2y，2z}（D）{2221,1,1cba}四、求Z=x2+y2在点(1,2)沿P(1,2)到Q(2,2+3)的方向的方向导数。五、求z=1-)(2222byax在点M0（2,2ba）处沿曲线12222byax的内法向量的方向导数。六、求u=x+xy+xyz在点M0（1，2，-1）处的梯度，并求该梯度方向的方向导数。七、f(x,y)在（x0,y0）可微，且该x轴正向到射线l的转角3,621方向的方向导数分别为1，0，求f(x,y)增长反映的方向的反大增长率。八、v=222zyx，求dgranv。§8.8极值一、填空题1．函数f(x,y)=(6x-x2)(4y-y2)的极值点有。2．函数f(x,y)=xy-xy2-x2y的可能极值点为和。二、选择题1．如果点(x0,y0)有定义且f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内有连续二阶偏导，=B2-AC，A=)(0,0yxfxx，B=)(0,0yxfxy，C=)(0,0yxfYY，则当（），f(x,y)在(x0,y0)取极大值。（A）、0,A0(B)、0,A0（C）、0,A0（D）、0,A02.函数Z=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值点有（）（A）、（1，0）和（1，2）（B）、（