第八章多元微分学(数学竞赛部分)

第1页共7页第八章多元微分学（数学竞赛部分）1．设函数)0(1tan1),(yxyxyxyxyxf，求).,(limlim),(limlim00yxfyxfxyyx分析本题是求两个二次极限之差。在求),(limlim0yxfyx时，先将x视为常数，求出),(limyxfy；类似地，在求),(limlim0yxfxy时，先将y视为常数，求出),(lim0yxfx。解因0),(limlim0yxfyx，1),(limlim0yxfxy，所以.1),(limlim),(limlim00yxfyxfxyyx2．设)1sin(sin1cos)1(2cossin),(yxxyyxyyxfz，求(0,1)zy．分析如果利用求导法则先求出偏导函数，计算量较大。注意到0)1,0(f，本题利用定义求偏导更容易些。解1)1,0(),0(lim1)1,0(yfyfyzy.110)1sin(1)1(lim1yyyy3．（1）若02yxz，且当0x时，sinzy，0y时，sinzx，求z；（2）设函数),(yxfz的二阶偏导数存在，222zy，且(,0)1,(,0)yfxfxx，求z；(3)求满足方程2zxyxdy及条件2(,0),(0,)zxxzyy的(,)zxy．解（1）由02yxz，可得)(xgxz，由xxzsin)0,(，可得xxzycos0，所以xxgcos)(，.cosxxz即于是)(sincosyhxxdxz，再由yyzsin),0(，可得yyhsin)(，故.sinsinyxz（2）因)(22xydyyz，所以).()())(2(2xyxydyxyz由xxfy)0,(，可得xx)(，再由1)0,(xf，可得1)(x，第2页共7页故.12xyyz（3）因)(21)(2xyxydyyxxz，由xxz)0,(，可得10yxz，又)()](21[020xxyxyxzyy，所以.1)(x于是)(2121]121[222yxxyyxdxyxyz，再由2),0(yyz，可得2)(yy，故.2121222yxxyyxz4．设),,(zyxfu，f是可微函数，若yxzfffxyz，证明u仅r的函数，其中222zyxr．分析将u仅写成球面坐标系下,,r的函数，只要证明0uu即可。证在面坐标系下)cos,sinsin,cossin(),,(rrrfzyxfu，tzfyfxfzyx令，则.,,tzftyftxfzyx)sin(sincoscoscosrfrfrfuzyx)sinsincoscoscos(zyxtr0)cossinsincossincoscos(sin222tr，cossin)sin(sinrfrfuyx)cossin)sin(sin(yxrt0)cossinsin)sin(cos(sin222tr，命题得证。5．设函数),(yxf可微，(0,0)0,(0,0),(0,0)xyffmfn，(),(,)tftftt，求)0(．解因][)(2121fffft，所以][)0(nmmm。6．设函数(,)uuxy具有二阶连续偏导数，且满足方程22220uuxy，又第3页共7页xxxu)2,(，2)2,(xxxux，求(,2),(,2),(,2)xxxyyyuxxuxxuxx．解因xxxu)2,(两端对x求偏导，有12)2,()2,(xxuxxuyx，解得)1(),1(21)2,(2xxxuy2)2,(xxxux两端对x求偏导，有)2(,22)2,()2,(xxxuxxuxyxx(1)式两端对x求偏导，有)3(,2)2,()2,(xxxuxxuyyyx因2222yuxu，由(2),(3)式解得35)2,(xxxuxy，.34)2,()2,(xxxuxxuyyxx7．若可微函数),(yxf对任意,,xyt满足20(,)(,),(1,2,2)ftxtytfxyP是曲面),(yxfz上的一点，且(1,2)4xf，求曲面在0P处的切平面方程。解等式),(),(2yxfttytxf两端对t求导，有),(2),(),(21yxtftytxfytytxfx，将1t代入，得),(2),(),(yxfyxfyyxfxyx，再将4)2,1(,2)2,1(,2,1xffyx代入上式，得0)2,1(yf，所求切平面的法向量为}1,0,4{}1),2,1(),2,1({yxffn，所求切平面方程为.024zx8．设函数),(yxfz在点微的某邻)1,0(域内可，且)(321)1,(oyxyxf，其中22yx，求曲面),(yxfz在点方程处的切平面(0,1)。解因函数),(yxfz在点微的某邻)1,0(域内可，所以),(yxf在点处(0,1)连续。所以1)](321[lim)1,(lim)1,0(0000oyxyxffyxyx，21)](21[lim0)1,0()1,(lim)1,0(00xxoxxfxffxxx，第4页共7页31)](31[lim0)1,0()1,0(lim)1,0(00yyoyyfyffyyy，所求切平面的法向量为}1,3,2{}1),1,0(),1,0({yxffn，所求切平面方程为.0232zyx9．求函数222zyxu在点(1,1,1)M处沿曲面222zxy在点M处的外法线方向n的方向导数Mun．解曲面222zxy在点M处的外法线方向为}1,1,1{1,,Mxzxzn，单位化，得}cos,cos,{cos31,31,310n，因222222222,,zyxzzuzyxyyuzyxxxu，所以31,31,31MMMzuyuxu，故coscoscosMMMMzuyuxunu.3110．设向量34,43uijvij，且二元函数(,)fxy在点P处有6Pfu，17Pfv，求Pdf．解因53,54,54,5300vu，由65453PPPyfxfuf，175354PPPyfxfvf，解得15,10PPvfxf，所以.1510dydxdfP11．求232),,(,,,zxczbyyxazyxfcba使函数的值常数在点)1,2,1(M处沿第5页共7页.64最大值轴正方向的方向导数有z解因}.22,4,34{)1,2,1(gradcbbacaf,64|)1,2,1(grad|}1,0,0//{)1,2,1(gradff且由题意有64)22(022040342cbcbbaca且故有，解得.8,24,6cba12．设二元函数),(yxf具有一阶连续偏导数，且)0,1()1,0(ff，证明在单位圆周.122yfxxfyyx点满足方程上至少存在两个不同的证令)sin,(cos)(fF，则在区间]2,0[上)π2(2π)0(,)(FFFF且可导，由罗尔定理知至少存在两个不同的点)π2,0(,，使得0)()(FF，而)sin,(coscos)sin,(cossin)(yxffF，将,代入上式即得结论。13．设二元函数),(||),(yxyxyxf，其中),(yx在点的一个邻域内连续)0,0(。证明函数),(yxf在)0,0(.0)0,0(件是点处可微的充分必要条证必要性。设),(yxf在)0,0(点处可微，则)0,0(),0,0(yxff存在。由于xxxxfxffxxx)0,(||lim)0,0()0,(lim)0,0(00，且.0)0,0(),0,0()0,(||lim),0,0()0,(||lim00故有xxxxxxxx充分性。若.0)0,0(,0)0,0(,0)0,0(yxff则可知因为2222),(||)0,0()0,0()0,0(),(yxyxyxyxyfxffyxfyx，又2||||||222222yxyyxxyxyx，所以点处可微在由定义)0,0(),(.0),(||lim2200yxfyxyxyxyx。13．满足又二元函数且有一阶连续导数时当)(,0)1(,)(0yxeefzfufu第6页共7页1yzxz，求)(uf。解令yxeeu，则1)()()(ufuufeufeyzxzyx，所以uuf1)(，解得.||ln)(Cuuf因0)1(0fu且，所以.ln)(uuf14．设函数),(yxf在)0,0(处连续，且243),(lim2200yxyxyxfyx，求)0,0()0,0(2yxff。解由243),(lim2200yxyxyxfyx，可得243),(22yxyxyxf，（其中是0,0yx时的无穷小）于是)(43)(2),(2222yxyxyxyxf。再由函数),(yxf在)0,0(处连续，得0)](43)(2[lim),(lim)0,0(22220000yxyxyxyxffyxyx。)0,0(xf332lim)0,0()0,(lim2200xxxxxfxfxx，)0,0(yf442lim)0,0(),0(lim2200yyyyyfyfxy，故)0,0()0,0(2yxff2．15．设),(yxf有二阶连续偏导数,),(),(22yxefyxgxy,且))1((1),(22yxoyxyxf，证明),(yxg在)0,0(取得极值，判断此极值是极大值还是极小值,并求出此极值。解因))1(()1(),(22yxoyxyxf由全微分的定义知0)0,1(f1)0,1()0,1(yxff.xfyefgxyx221，yfxefgxyy221，0)0,0(xg，0)0,0(yg，第7页共7页2222121121122)2()2(2fxxfyefyefyexfyefgxyxyxyxyxxyfxefexyefyeyfxefgxyxyxyxyxyxy2)2()()2(2221112112222121121122)2()2(2fyyfxefxefxeyfxefgxyxyxyxyyA=2)0,1(2)0,0(22fgx，1)0,1()0,0(1fgBxy，2)0,1(2)0,0(22