第八章定积分的应用和近似计算

第1页共4页第八章定积分的应用和近似计算§1.平面图形的面积1.求下列用极坐标表示的曲线所围图形的面积：(1)双纽线22cos2;ra(2)三叶玫瑰线sin3;ra(3)蚌线cos().rabba2.求下列各曲线所围成的图形面积：(1)224(1),4(1);yxyx(2)|ln|,0(0.110);yxyx(3)2,sin(0);yxyxxx(4)22,5;yxx(5)2,5;yxyx(6)222333;xya3.直线yx把椭圆2236xyy的面积分成两部分A(小的一块)和B(的一块)，AB之值．4.求下列用参数方程表示的曲线所围图形的面积：(1)2232,2;xttytt(2)摆线(sin),(1cos)(02)xattyatt及x轴；(3)圆的渐开线(cossin),(sincos),(02)xatttyatttt，及半直线(0)xay，其中0a．5.求3cosr和1cosr所围的公共部分的面积．第2页共4页§2.曲线的弧长1.求下列曲线的弧长：(1)2,01;yxx(2)2,12;yex(3)1;xy(4)星形线33cossin(02);xatyatt(5)圆的渐开线(cossin),(sincos),0,02;xatttyatttat(6)3sin(0);3raa(7)心脏线(1cos),02,0.raa§3.体积1.求下列旋转体的体积：(1)椭圆22221xyab绕x轴；(2)sin,0(0)yxyx(i)绕x轴，(ii)绕y轴；(3)旋轮线(sin),(1cos)(02),0xattyatty(i)绕x轴，(ii)绕y轴，(iii)绕直线2;ya(4)双曲线22221yxba与直线xh所围的图形绕x轴旋转.2.已知球半径为R，试求高为h的球冠体积(h≤R)．3.求由下列各曲面所围成的几何体的体积：(1)求截锥体的体积，其上，下底皆为椭圆，椭圆的轴长分别等于A，B和a，b，而高为h；(2)正圆台：其上下底分别是半径为a、b的圆，而其间的距离为h．第3页共4页§4.旋转曲面的面积1.求下列平面曲线绕轴旋转所得旋转曲面的面积：(1)sin,0yxx绕x轴；(2)(sin),(1cos),0,02xattyatat绕直线2;ya(3)22221()xyabab绕x轴；(4)33cos,sinxatyat绕x轴；(5)222cos2ra绕极轴．§5.质心1.求下列曲线段的质心：(1)半径为r，弧长为专1()2的均匀圆弧；(2)对数螺线(0,0)kraeak上由点(0,)a到点(,)r的均匀弧段；(3)以A(0，0)，B(0，1)，C(2，1)，D(2，0)为顶点的矩形周界，曲线上任一点的密度等于该点到原点距离的2倍；(4)(sin),(1cos)02,xattyatta，密度为常数．2.已知一抛物线段2(11)yxx，曲线段上任一点处的密度与该点到y轴的距离成正比，1x处密度为5，求此曲线段的质量．3.求半球2220zRxy的质心.4.求锥体22xyzh的质心和绕z轴的转动惯量．5.轴长10m，密度分布为()(60.3)kg/mxx，其中x为距轴的一个端点的距离，求轴的质量．§6.平均值、功1．有一长为a的细棒，它在各点处的线密度与相距某一端点的距离平方成正比，求此第4页共4页细棒的平均密度.2．某水库的闸门是一梯形，上底6m，下底2m，高10m，求水灌满时闸门所要的力。设水的比重为10003/kgm.3．有一薄版22221()xyabab，长轴沿铅直方向一半浸入水中，求水对板的压力.4．半径为r的球沉入水中，它与水面相接，球的比重为1，现将球从水中取出，要作多少功？5．修建大桥桥墩时要先下围囹。设一圆柱形围囹的直径为20m，水深27m，围囹高出水面3m，要把水抽尽，计算克服重力所作的功。6．把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比。已知1kg的力能使弹簧伸长1cm，问把弹簧拉长10cm要作多少功？§7.定积分的近似计算1．把积分区间10等分，用抛物线公式计算下列积分的近似值，精确到小数点后三位：(1)1301xdx；(2)21dxx.2．已知12014dxx，试把积分区间[0,1]分成10等分，分别用梯形公式和抛物线公式计算的近似值，精确到小数点后三位.