第八章实数的完备性

第八章实数的完备性1实数连续性的等价描述1．求数列{Jn}的上、下确界：(1)11;nxn(2)[2(2)];nnxn(3)2211,1(1,2,3,);kkxkxkk(4)1[1(1)];nnnxn(5)(1)12;nnnnx(6)12cos.13nnnxn2．设()fx在D上定义，求证：(1)sup{()}inf();xDxDfxfx(2)inf{()}sup().xDxDfxfx3．设supE，且E，试证自E中可选取数列{}nx且nx互不相同，使limnxx；又若E，则情形如何?4．试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于的数列必有下确界，趋于的数列必有上确界．5．试分别举出满足下列条件的数列：(1)有上确界无下确界的数列；(2)含有上确界但不含有下确界的数列；(3)既含有上确界又含有下确界的数列；(4)既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限．2实数闭区间的紧致性1．利用有限覆盖定理9．2证明紧致性定理9．4．2．利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限．3．用区间套定理证明单调有界数列必有极限．4．试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样?若将条件1122[,][,]abab去掉或将条件0nnba去掉，结果怎样?试举例说明．5．若{}nx无界，且非无穷大量，则必存在两个子列,kknmxxa(a为有限数)．6．有界数列{}nx若不收敛，则必存在两个子列,)kknmxaxbb．7．求证：数列{}na有界的充要条件是，{}na的任何子数列{}kna都有收敛的子数列．8．设()fx在[,]ab上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证：()fx在[,]ab上有界．9．设()fx在[,]ab无界，求证：存在[,]cab，对任给0，函数()fx在(,)[,]ccab上无界．10．设()fx是(,)ab上的凸函数，且有上界，求证：lim(),lim()xaxbfxfx存在．11．设()fx在[,]ab上只有第一类间断点，定义()|(0)(0)|.xfxfx求证：任意0,()x的点x只有有限多个．12．设()fx在[0,)上连续且有界，对任意(,)a，()fxa在[0,)上只有有限个根或无根，求证：lim()xfx存在．3实数的完备性1，设()fx在(,)ab连续，求证：()fx在(,)ab一致连续的充要条件是lim()xafx与lim()xbfx都存在，2．求证数列1112nxn当n时的极限不存在．3．利用柯西收敛定理讨论下列数列的收敛性：(1)012(||1,||);nnnkxaaqaqaqqaM(2)2sin1sin2sin1;222nnnx(3)11111(1).23nnxn4．证明0lim()xxfx存在的充要条件是：对任意给定0，存在0，当000|'|,0|''|xxxx时，恒有|(')('')|.fxfx5．证明()fx在0x点连续的充要条件是：任给0，存在0，当000|'|,0|''|xxxx时，恒有|(')('')|.fxfx6．证明下列极限不存在：(1)12cos;13nnnxn(2)(1)12;nnnnx(3)2sin();nxnn(4)cos;nxn(5)tan.nxn7．设()fx在(,)a上可导，|'()|fx单调下降，且lim()xfx存在，求证lim'()0xxfx．8．设()fx在(,)可导，且|'()|1fxk，任给0x，令1()(0,1,2,),nnxfxn求证，(1)limnxx存在；(2)上述极限为()xfx的根，且是唯一的．9．设()fx在[,]ab满足条件：(1)|()()|||,,[,],1;fxfykxyxyabk(2)()fx的值域包含在[,]ab内．则对任意0[,]xab，令1()(0,1,2,)nnxfxn，有(1)limnxx存在；(2)方程()xfx的解在[,]ab上是唯一的，这个解就是上述极限值．4再论闭区间上连续函数的性质1．设()fx在[,]ab上连续，并且最大值点0x是唯一的，又设0[,]xab，使0lim()()nxfxfx，求证0limnxxx2．设()fx在[,]ab上连续，可微，又设(1)min()max();axbaxbfxpfx(2)如果()fxp，则有'()0fx，求证：()fxp的根只有有限多个．3．设()fx在[,]ab连续，()0fa，()0fb，求证：存在(,)ab，使()0f，且()0()fxxb．4．设()fx是[,]ab上的连续函数，其最大值和最小值分别为M和()mmM，求证：必存在区间[,]，满足条件：(1)(),()fMfm或(),()fmfM；(2)()mfxM，当(,)x．5．()fx在[0,2]a连续，且(0)(2)ffa，求证：存在[0,]xa，使()()fxfxa．6．设()fx在[,]ab上连续，且取值为整数，求证：()fx常数．7．设()fx在(,)ab上一致连续，,ab，证明()fx在(,)ab上有界；8．若函数()fx在(,)ab上满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数K，使得|(')('')||'''|,',''(,).fxfxKxxxxab证明：()fx在(,)ab上一致连续．9．试用一致连续的定义证明：若函数()fx在[,]ac和[,]cb上都一致连续，则()fx在[,]ab上也一致连续．10．设()fx在(,)上连续，且lim()xfx与lim()xfx存在．证明；()fx在(,)上一致连续．11．若()fx在区间X(有穷或无穷)中具有有界的导数，即|'()|,fxMxX，则()fx在X中一致连续．12．求证：()lnfxxx在(0,)上一致连续．13．设()fx在(,)a上可导，且lim'()xfx，求证：()fx在(,)a上不一致连续．14．求证：()lnfxxx在(0,)上不一致连续．5可积性1．判断下列函数在区间[0,1]上的可积性：(1)()fx在[0,1]上有界，不连续点为1(1,2,)xnn；(2)sgn(sin),(0,1],()0,0;xfxxx(3)11,(0,1],()0,0;xfxxxx(4)1,(0,1],1()0,0.xfxxx2．讨论2(),(),|()|fxfxfx三者间可积性的关系．3．设(),()fxgx都在[,]ab上可积，证明：()max((),()),()min((),())Mxfxgxmxfxgx在[,]ab上也是可积的．4．设()fx在[,]ab上可积，且()0fxr，求证：(1)1()fx在[,]ab可积；(2)ln()fx在[,]ab可积．5．设()fx在[,]ab可积，求证：任给0，存在逐段为常数的函数()x，使|()()|.bafxxdx6．设()fx在[,]ab上有界，定义[,][,][,]sup()inf(),fxabxababfxfx求证',''[,][,]sup|(')('')|.fxxababfxfx7．设()fx在0x附近有定义且有界，定义00011()lim,.fnxxxnn求证：()fx在0x连续的充分必要条件为0()0fx．8．若函数()fx在[,]AB可积，证明：0lim|()()|0,bahfxhfxdx其中AabB(这一性质称为积分的连续性)．9．()0,''()0,fxfx对任意省仨[,]xab成立，求证：2()().bafxfxdxba10．设()fx在[,]ab有连续的导函数，求证：1max|()||()||'()|.bbaaaxbfxfxdxfxdxba11．设()fx在[,]ab可积，求证；存在连续函数序列(),1,2,nxn，使lim()().bbnaanxdxfxdx12．设()fx在[,]ab黎曼可积，求证：(1)存在区间序列{[,]}ab使11[,](,)(,),nnnnababab且1([,])fnnabn；(2)存在1[,]nnncab，使得()fx在c点连续；(3)()fx在[,]ab上有无穷多个连续点．