第八章学习要点与练习1

1第九章空间解析几何与向量代数学习要点与练习（一）一、学习要点1.关于空间直角坐标系与向量两点间的距离公式设空间两点M1=(x1，y1，z1)，M2=(x2，y2，z2)，则M1与M2之间的距离21221221221)()()(zzyyxxMM向量的坐标表示向量是本章重点，它是学习平面和空间直线知识的基本工具设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)是两个向量，有关向量有如下一些基本概念要掌握：模a=232221aaa方向余弦aaaaaa321cos,cos,cos且Cos2+Cos2+Cos2=1数量积332211,cosbabababababa，两个向量的数量积是一个数.向量积321321bbbaaakjiba=(a2b3－a3b2，a3b1－a1b3，a1b2－a2b1)，两个向量的向量积是一个向量.bababababababa,,;;,sin和成右手系.两个向量平行或垂直的充分必要条件0bababkaba∥或0baba∥2.关于平面熟练掌握平面的点法式方程，掌握平面的一般方程，会求平面方程、点到平面的距离.求平面方程的关键是找出法方向n=(A，B，C)。过点(x0，y0，z0)以n为法方向的平面方程为A(x－x0)+B(y－y0)+C(z－z0)=0平面的一般方程为：Ax+By+Cz+D=0，法方向：n=(A，B，C)点(x1，y1，z1)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d=222111CBADCzByAx3.关于空间直线掌握空间直线的标准方程、参数方程和一般方程，会作方程间互化并求直线方程.会用方向向量讨论平面、直线以及它们之间的位置关系.建立直线方程的关键也是确定其方向向量l=(a，b，c)。2过点(x0，y0，z0)以l为方向向量的直线方程是czzbyyaxx000(标准方程)由标准方程化为参数方程得ctzzbtyyatxx000两平面的交线为一直线，即直线的一般方程为0022221111DzCyBxADzCyBxA方向向量),,(),,,(,2222111121CBAnCBAnnnl其中。4.关于平面与平面、直线与直线、平面与直线的位置关系：（1）平面1：A1x+B1y+C1z+D1=0，法方向),,(1111CBAn；平面2：A2x+B2y+C2z+D2=0，法方向),,(2222CBAn1221nn∥即AABBCC121212；1与2重合21212121DDCCBBAA1221nn，即A1A2+B1B2+C1C2=0系数不满足以上条件时，两平面斜交.（2）直线l1：方向向量),,(1111cbal；直线l2：方向向量，),,(2222cball1l221ll∥即212121ccbbaa21ll21ll，即a1a2+b1b2+c1c2=0系数不满足以上条件时，两直线斜交.（3）直线l1：方向向量),,(1111cbal平面1：A1x+B1y+C1z+D1=0，法方向),,(1111CBAnl11011111111CcBbAanl即；l1111111111CcBbAanl即∥系数不满足以上条件时，直线与平面斜交.5.关于二次曲面3了解以下一些二次曲面的方程特征以及图形特征。凡是缺少一个字母的方程，如xyyx2,4222等都是柱面。知道球面、椭球面、柱面和旋转抛物面的方程.球面方程：(x－a)2+(y－b)2+(z－c)2=R2，球心：(a，b，c)，半径：R椭球面：1)()()(220220220czzbyyaax圆柱面：222222)(,ayaxryx圆锥面：x2+y2=z2；旋转抛物面：z=x2+y2二、练习题（一）填空题1.直线22111zyx与z轴夹角的余弦是.2.设直线xyz11125在平面x+2y－z+k=0上，则k=______.3.球面x2－2x+y2＋y+z2=0的球心是______.4.点（－1，－2，－1）到平面0522zyx的距离d=.（二）选择题1.同时与向量a={2，1，4}和z轴垂直的向量是()A.{－2，1，0}B.{1，－2，0}C.{2，1，0}D.{1，2，0}2．若一直线的方向向量为{2,3,3}，则此直线与z轴的夹角是（）。A.0B.3C.2D.43.设向量kjbk,ja23213，那么（）。A.abB.a∥b且ab,同向C.a∥b且ab,反向D.a与b既不平行，也不垂直4.与向量a={1，0，－1}垂直的单位向量是()A.{－1，0，1}B.{1，0，1}C.{21,0,21}D.{1/2，0，1/2}5．方程y+z=0的图形是()的平面.A.平行于坐标面yzB.平行于y轴C.过x轴D.平行于z轴6.直线012zyxzx的方向向量是()A.102111kjiB.111012kjiC.111112kjiD.012111kji（三）计算题41．求过点(1，1，1)且平行于直线02223zxzyx与11122zyx的平面方程.2.写出二平面3x－5y+z=0和x+2y－z=3交线方程的标准形式.3.求通过z轴和点P0（1，1，－1)的平面方程.4.求通过点M0(1，0，1)且垂直于向量1s={1，2，1}和2s＝{3，1，0}的直线方程.5.求过点(2，1，7)且与xOy平面的交线是03zyx的平面方程.三、练习题答案（一）1.2/3；2.1；3.(1，－1/2，0)；4.4（二）1．B；2.B3.C4.C5.C；6.A；(三)1.x－3y+z+1=0；2.11494343zyx；3.z+1=0；4.51311zyx；5.3yx。