第八章矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步SECTION3

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§3仿射坐标系一、仿射坐标系与度量系数[仿射坐标]在三维欧氏空间中,若取一个直角坐标系,其坐标单位矢量为i,j,k时,则空间中的矢量a可表示为a=axi+ayj+azk一般地,在空间中给定了三个不共面的矢量e1,e2,e3,则空间中任一矢量a可按这三个矢量分解,令其系数为a1,a2,a3(这里1,2,3不是指数,而是上标)则a可表示为a=a1e1+a2e2+a3e3或简计作a=aieia=a1,a2,a3={ai}这种坐标系e1,e2,e3称为仿射坐标系,e1,e2,e3称为坐标矢量,a1,a2,a3称为矢量a的仿射坐标.[欧氏空间中度量系数]当矢量a写成上面的形式时,则它的长度a由(a)2=(aiei)(ajej)=(eiej)aiaj给出.令eiej=gij(=gji)(i,j=1,2,3)则称gij为仿射坐标系的度量系数.1矢量a的长度由(a)2=gijaiaj计算.2两个矢量a=aiei,b=bjej的夹角由cos=gabgaagbbijijijijijij计算.3因为gijaiaj是正定二次型,所以由gij所作的行列式欧几里得空间简称欧氏空间,它的定义见第二十一章,§4.这种缩写是张量算法中的写法.如果每个指标在乘积中出现一次,就表示它取一切可能的值;如果每个指标在乘积中出现两次,就表示取一切可能的值,而后再把各项相加,求其总和.这种规定称为爱因斯坦约定.这是张量写法.gggggggggg1112132122233132330混合积(e1,e2,e3)2=332313322212312111eeeeeeeeeeeeeeeeee=g(e1,e2,e3)=g[克罗内克尔符号]对称矩阵ggggggggggij111213212223313233的逆矩阵用333231232221131211ggggggggggij来表示.由逆矩阵的性质,有gij=gji和gikgkj=ji式中ji=10,,ijij称为克罗内克尔符号.[互易矢量]利用这个gij规定ei=gijej因而有ej=gijeieiek=(gijej)ek=gij(ejek)=gijgjk=kieiej=(gilel)(gjmem)=gilgjm(elem)=gilgjmglm=gillj=gij对e1,e2,e3,可以得到e1=1g(e2×e3),e2=1g(e3×e1),e3=1g(e1×e2)e1,e2,e3称为关于坐标矢量e1,e2,e3的互易矢量.gij称为互易矢量的仿射坐标系中的度量系数.二、逆变矢量与协变矢量[逆变矢量与协变矢量]如果矢量a在坐标系e1,e2,e3中的仿射坐标a1,a2,a3是由公式a=a1e1+a2e2+a3e3=aiei给出,则a1,a2,a3称为矢量a的逆变坐标(或称为抗变坐标),而矢量ai称为逆变矢量(或称为抗变矢量).如果关于坐标矢量e1,e2,e3的互易矢量为e1,e2,e3,矢量a在坐标系e1,e2,e3中的仿射坐标a1,a2,a3是由公式a=a1e1+a2e2+a3e3=ajej给出,则a1,a2,a3称为矢量a的协变坐标,而矢量aj称为协变矢量.在直角坐标系中,矢量的协变坐标与逆变坐标是一致的.一般地,在仿射坐标系中协变坐标与逆变坐标有关系ai=a·ei=(ajej)·ei=aj(ej·ei)=ajgji[逆变矢量与协变矢量的标量积]如果a,b为两个矢量,a1,a2,a3;b1,b2,b3分别为它们的逆变坐标,则a·b=gijaibj如果a,b为两个矢量,a1,a2,a3;b1,b2,b3分别为它们的协变坐标,则a·b=gijaiaj如果a的逆变坐标为a1,a2,a3,b的协变坐标为b1,b2,b3,则a·b=aibi三、n维空间[n维空间的定义]如果空间中的点与n个独立实数x1,···,xn的有序组的值建立一对一且双方连续的对应,那末,以这样的点作为元素的集合称为n维实数空间(简称n维空间),记作Rn.所以空间中一点M对应于一组有序数x1,···,xn;反之,一组有序数x1,···,xn对应于一点M.这样的一组有序数(x1,···,xn)称为n维空间Rn中一点M的坐标.[n维空间中的矢量]在n维空间Rn中取一定点O,坐标为(0,0,···,0),另外一点M(x1,x2,···,xn),r为对应于两点O和M的矢量,称为点M的矢径.假定在Rn中可以引进仿射坐标系,使得矢径r与点M(xi)的坐标的关系是r=x1e1+···+xnen=xiei式中e1,···,en是Rn中n个线性无关的矢量,这种坐标系e1,···,en称为Rn中的仿射坐n维实数空间另一定义见第二十一章,§3.标系,x1,···,xn称为Rn中矢量r的仿射坐标.在三维空间中所讨论的许多结果,在n维空间中都成立,只要把公式中所出现的指标认为从1到n就行了.[逆变矢量与协变矢量]在n维空间Rn中考虑一个任意坐标变换xxxxiin1,,in12,,,(1)其中函数xi关于xi有连续的各阶导数(讨论中所需要的阶数),变换的雅可比式不等于零:0,,,,,,2121nnxxxxxx因而(1)有逆变换xxxxxiin12,,,设a1,···,an为xi的函数,如果在坐标变换下,它们都按坐标微分一样地变换,即iiiiaxxa则称ai为坐标系(xi)中一个矢量的逆变坐标,ai为坐标系xi中同一个矢量的逆变坐标.称矢量ai为逆变矢量.如果ai按iiiiaxxa的形式变换,则称ai为坐标系(xi)中一个矢量的协变坐标,称ai为坐标系xi中同一矢量的协变坐标,称矢量ai为协变矢量.逆变矢量和协变矢量的变换系数是不同的,但是它们之间有关系式ijjkkixxxx式中ji为克罗内克尔符号.例标量场的梯度是一个协变矢量.设n维空间的标量场为xxxn12,,,它沿一无限小位移dxi上的变更iixdd这里用xi表示同一点M(xi)在另一个坐标系中的坐标,就是说xi和xi表示同一点.用同一个核文字(如x)表示同一个对象,用指标上加一撇表示不同的坐标系(如xxii,等),这种记法叫核是一个在坐标变换下的不变量,式中iix是的梯度的分量.因此在坐标变换下,iiiiiiiixxxxxddd.则iiiixx.所以i是一个协变矢量.标法.

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