第八章章末检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2010·山东)在空间中,下列命题正确的是()A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行2.(2011·聊城模拟)设m、n是不同的直线,α、β、γ是不同的平面,有以下四个命题:①α∥βα∥γ⇒β∥γ;②α⊥βm∥α⇒m⊥β;③m⊥αm∥β⇒α⊥β;④m∥nn⊂α⇒m∥α.[来源:学科网ZXXK]其中真命题的序号是()A.①④B.②③C.①③D.②④3.(2010·福建)如图,若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体,其中E为线段A1B1上异于B1的点,F为线段BB1上异于B1的点,且EH∥A1D1,则下列结论中不正确的是()A.EH∥FGB.四边形EFGH是矩形C.Ω是棱柱D.Ω是棱台4.正四面体的内切球与外接球的半径之比为()A.1∶3B.1∶9C.1∶27D.1∶815.(2011·广东)如图所示,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为()A.63B.93C.123D.1836.(2011·舟山月考)若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的全面积与侧面积的比为()A.1+2π2πB.1+π4πC.1+2ππD.1+π2π7.如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离为()A.12B.24C.22D.328.(2011·四川)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面9.(2011·临沂模拟)某几何体的三视图如图,则该几何体的体积的最大值为()A.16B.13C.23D.1210.设P是60°的二面角α—l—β内一点,PA⊥平面α,PB⊥平面β,A、B分别为垂足,PA=4,PB=2,则AB的长是()A.23B.25C.27D.4211.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形的边长是a,D,E分别是BB1,CC1上的点,且EC=BC=2BD,则平面ADE与平面ABC的夹角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°12.(2011·丽水月考)如图所示,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足为A′、B′,则AB∶A′B′等于()A.2∶1B.3∶1C.3∶2D.4∶3[来源:Zxxk.Com]二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.如图,是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A′O′B′,则△AOB的面积是________.[来源:学#科#网]14.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F,G,H,N分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC,BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则点M只需满足条件________时,就有MN∥平面B1BDD1.15.(2011·上海)若圆锥的侧面积为2π,底面面积为π,则该圆锥的体积为________.16.(2011·阳江月考)正四棱锥S—ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是________.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5、圆心角为6π5的扇形,在这个圆锥中内接一个高为x的圆柱.(1)求圆锥的体积;(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?18.(12分)已知在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,沿对角线AC折叠,使面ABC与面ADC垂直,求B、D间的距离.19.(12分)(2011·陕西)如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°.(1)证明:平面ADB⊥平面BDC;(2)设E为BC的中点,求AE→与DB→夹角的余弦值.20.(12分)(2011·广州模拟)如图,A1A是圆柱的母线,AB是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上异于A,B的任意一点,A1A=AB=2.(1)求证:BC⊥平面AA1C;(2)求三棱锥A1—ABC的体积的最大值.[来源:学_科_网]21.(12分)(2011·重庆)如图,在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面ACD,AB⊥BC,AD=CD,∠CAD=30°.(1)若AD=2,AB=2BC,求四面体ABCD的体积.(2)若二面角C-AB-D为60°,求异面直线AD与BC所成角的余弦值.[来源:学。科。网]22.(12分)(2011·北京)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.(1)求证:BD⊥平面PAC;[来源:Zxxk.Com](2)若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值;[来源:学科网](3)当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长.第八章章末检测1.D2.C3.D4.A5.B[由三视图可还原几何体的直观图如图所示.此几何体可通过分割和补形的方法拼凑成一个长和宽均为3,高为3的平行六面体,所求体积V=3×3×3=93.]6.A7.B8.B[当l1⊥l2,l2⊥l3时,l1也可能与l3相交或异面,故A不正确;l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3,故B正确;当l1∥l2∥l3时,l1,l2,l3未必共面,如三棱柱的三条侧棱,故C不正确;l1,l2,l3共点时,l1,l2,l3未必共面,如正方体中从同一顶点出发的三条棱,故D不正确.]9.D10.C11.B12.A13.1614.M∈线段FH15.33π16.30°17.解(1)因为圆锥侧面展开图的半径为5,所以圆锥的母线长为5.设圆锥的底面半径为r,则2πr=5×6π5,解得r=3.(2分)所以圆锥的高为4.从而圆锥的体积V=13πr2×4=12π.(4分)(2)右图为轴截面图,这个图为等腰三角形中内接一个矩形.设圆柱的底面半径为a,则3-a3=x4,从而a=3-34x.(6分)圆柱的侧面积S(x)=2π(3-34x)x=32π(4x-x2)=32π[4-(x-2)2](0x4).(8分)当x=2时,S(x)有最大值6π.所以当圆柱的高为2时,圆柱有最大侧面积为6π.(10分)18.解方法一如图,过D、B分别作DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,则由已知条件得AC=5,∴DE=AD·DCAC=125,BF=AB·BCAC=125.∴AE=AD2AC=95=CF.∴EF=AC-2AE=75.(3分)∵DB→=DE→+EF→+FB→,∴|DB→|2=|DE→+EF→+FB→|2=DE→2+EF→2+FB→2+2DE→·EF→+2DE→·FB→+2EF→·FB→.(6分)∵面ADC⊥面ABC,而DE⊥AC,∴DE⊥面ABC,∴DE⊥BF.(8分)∴|DB→|2=DE→2+EF→2+FB→2=14425+4925+14425=33725.∴|DB→|=3375,故B、D间的距离为3375.(12分)方法二同方法一,过E作FB的平行线交AB于P点,以E为坐标原点,以EP、EC、ED所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,如图.则由方法一知DE=FB=125,EF=75.(4分)∴D0,0,125,B125,75,0.(6分)∴|DB→|=1252+752+-1252=3375.(12分)19.(1)证明∵折起前AD是BC边上的高,∴当△ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB.(2分)又DB∩DC=D,∴AD⊥平面BDC.(4分)∵AD⊂平面ABD,∴平面ADB⊥平面BDC.(6分)(2)解由∠BDC=90°及(1),知DA,DB,DC两两垂直.不妨设DB=1,以D为坐标原点,分别以DB→,DC→,DA→所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,易得D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,3),E(12,32,0),(9分)∴AE→=(12,32,-3),DB→=(1,0,0),(10分)∴AE→与DB→夹角的余弦值为cos〈AE→,DB→〉=AE→·DB→|AE→|·|DB→|=121×224=2222.(12分)20.(1)证明∵C是底面圆周上异于A,B的任意一点,且AB是圆柱底面圆的直径,∴BC⊥AC.∵AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴AA1⊥BC.(4分)∵AA1∩AC=A,AA1⊂平面AA1C,[来源:学科网]AC⊂平面AA1C,∴BC⊥平面AA1C.(5分)(2)解设AC=x,在Rt△ABC中,BC=AB2-AC2=4-x2(0x2),(7分)故VA1—ABC=13S△ABC·AA1=13·12·AC·BC·AA1=13x4-x2(0x2),(9分)即VA1—ABC=13x4-x2=13x24-x2=13-x2-22+4.∵0x2,0x24,∴当x2=2,即x=2时,三棱锥A1—ABC的体积最大,最大值为23.(12分)21.[来源:学科网]①(1)解如图①,设F为AC的中点,连接DF,由于AD=CD,所以DF⊥AC.故由平面ABC⊥平面ACD,知DF⊥平面ABC,即DF是四面体ABCD的面ABC上的高,且DF=ADsin30°=1,AF=ADcos30°=3.(2分)在Rt△ABC中,因为AC=2AF=23,AB=2BC,由勾股定理易知BC=2155,AB=4155,(4分)故四面体ABCD的体积V=13·S△ABC·DF=13×12×4155×2155×1=45.(6分)(2)解方法一如图①,设G,H分别为边CD,BD的中点,连接FG,FH,HG,则FG∥AD,GH∥BC,从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角.(7分)设E为边AB的中点,连接EF,则EF∥BC,由AB⊥BC,知EF⊥AB.又由(1)有DF⊥平面ABC,故由三垂线定理知DE⊥AB.所以∠DEF为二面角C-AB-D的平面角.由题设知∠DEF=60°.(9分)设AD=a,则DF=AD·sin∠CAD=a2.在Rt△DEF中,EF=DF·cot∠DEF=a2·33=36a,从而GH=12BC=EF=36a.因为Rt△ADE≌Rt△BDE,故BD=AD=a,从而,在Rt△BDF中,FH=12BD=a2.(10分)又FG=12AD=a2,从而在△FGH中,因FG=FH,由余弦定理得cos∠FGH=FG2+GH2-FH22FG·GH=GH2FG=36.因此,异面直线AD与BC所成角的余弦值为36.(12分)②方法二如图②,过F作FM⊥AC,交AB于M.已知AD=CD,平面ABC⊥平面ACD,易知FC,FD,FM两两垂直,以F为原点,射线FM,FC,FD分别为x轴,y轴,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系F-xyz.(7分)不妨设AD=2,由CD=AD,∠CAD=30°,易知点A,C,D的坐标分别为A(0,-3,0),C(0,3,0),D(0,0,1),则AD→=(0,3,1).显然向量k=(0,0,1)是平面ABC的法向量.已知二面角C-AB-D为60°,故可取平面ABD的单位法向量n=(l,m,n),使得〈n,k〉=60°,从而n=12.由n⊥AD→,有3m+n=0,从而m=-36.由l2+m2+n2=1,得l=±63.设点B的坐标为(x,y,0),由AB→⊥BC→,n⊥AB→,取l=63,有x2+y2=3,63x-36y+3=0,解得x=469,y=739,或x=0,y=-3(舍去).[来源:学.科.网]易知l=-63与坐标系的建立方式不合,舍去.因此点