第八章第3节实际问题与二元一次方程组

第八章第3节实际问题与二元一次方程组课程解读一、学习目标：1、会根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组并求解；2、通过将实际问题中的数量关系转化为二元一次方程组，体会数学化的过程，提高用数学分析和解决实际问题的能力。二、重点、难点：重点：掌握列二元一次方程组解应用题的步骤。难点：将实际情景中的数量关系抽取出来，找准题目中的等量关系。三、考点分析：利用二元一次方程组解决实际问题是历届中考重点考查的内容，常见题型有填空题、选择题和解答题，属中低档题，主要考查学生的综合能力和解决实际问题的能力。知识梳理1、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程来解容易得多。列方程组解应用题有以下几个步骤：（1）选定几个未知数；（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；（3）解方程组，得到方程组的解；（4）检验求得的未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解。2、列二元一次方程组解决实际问题的常用方法（1）数量较多的问题常用列表的方式分析数量关系，因为利用表格可清楚地反映数量之间的关系，从而达到少设未知数，减少计算量的目的。解应用题时，有这样一种规律：如果少设未知数，那么思路复杂，计算简单；如果多设未知数，那么思路简单，计算复杂。我们应根据具体的题目选择所设未知数的个数。（2）借助“线段图”分析复杂的行程问题，列二元一次方程组解行程问题的常见类型有两种，一是速度已知，这种类型的特征是速度已知，时间和路程以相等关系的形式给出，我们可以根据时间关系或路程关系来列出二元一次方程组；二是时间已知，路程和速度以相等关系的形式给出，这时我们可以根据路程和速度列出二元一次方程组。例：从甲地到乙地全程3.3千米，一段上坡、一段平路、一段下坡，如果保持上坡每小时行3千米，平路每小时行4千米，下坡每小时行5千米，那么从甲地到乙地需行51分钟，从乙地到甲地需行53.4分钟，求甲地到乙地的上坡、下坡和平路的路程各是多少千米？这个问题中的数量关系较为复杂，可借助表格分析：上坡平路下坡从甲地到乙地路程速度345时间从乙地到甲地路程速度543时间借助线段图来分析更直观。乙甲上坡平路下坡典型例题知识点一：常见的应用题类型例1：今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？思路分析：1）题意分析：解本题的关键是理解“6年后”这几个字的含义，即6年后父子俩都长了6岁。2）解题思路：今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，根据这两个相等关系列方程。解答过程：设父亲现在x岁，儿子y岁，根据题意得：x＝5yx＋6＝3（y＋6），解得x＝30y＝6。答：父亲现在30岁，儿子6岁。解题后的思考：解决年龄问题，要注意一点：一个人的年龄变化（增大、减小）了，其他人也一样增大或减小，并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内）。例2：某人用24000元买进甲，乙两种股票，在甲股票升值15%，乙股票下跌10%时卖出，共获利1350元，试问该人买进的甲，乙两种股票各是多少元？思路分析：1）题意分析：此人在这次炒股中购进两种股票，共花费24000元，一种赚钱，一种赔钱，最终获利1350元。2）解题思路：本题的数量关系较为明显，根据甲、乙两种股票的购进总价和获利总数列方程。解答过程：设买进时甲股票共x元，乙股票共y元，则x＋y＝2400015%x－10%y＝1350，解得x＝15000y＝9000。答：该人买进15000元甲种股票，9000元乙种股票。解题后的思考：分析获利情况时有两种方法（以本题为例）：①15%x－10%y＝1350；②（1＋15%）x＋（1－10%）y－24000＝1350。①是利用了甲股票的利润＋乙股票的利润（负数）＝总利润；②是利用了两种股票的卖出价格－买进价格＝总利润。其中①在形式上要简单一些。例3：“悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行八百，风速多少才称雄？”诗歌大意：孙悟空顺风去查妖精的行踪，仅用4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了800里，问风速是多少？思路分析：1）题意分析：已知量有四个：顺风4分钟行1000里，逆风4分钟行800里；未知量有四个：顺风速度、无风速度、逆风速度、风速。2）解题思路：根据顺风行程和逆风行程这两个数量关系列方程组。解答过程：设悟空在无风时的行走速度为x里/分，风速为y里/分，则悟空顺风行走的速度为（x＋y）里/分，逆风行走的速度为（x－y）里/分。根据题意得4x＋4y＝10004x－4y＝800，解得y＝25（里/分）。答：风速是25里/分。解题后的思考：这是一道行程问题，顺风速度＝无风速度＋风速，逆风速度＝无风速度－风速。例4：如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？60cm思路分析：1）题意分析：这个长方形由8块地砖拼成，大长方形的长和宽由小长方形地砖的长和宽组成。2）解题思路：大长方形的长由两个小长方形的长组成，也可认为由一个小长方形的长和三个小长方形的宽组成；大长方形的宽由一个小长方形的长和一个小长方形的宽组成。根据这两个相等关系列方程。解答过程：设长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，则x＋y＝602x＝y＋x＋2y，解得x＝45y＝15。答：每块长方形地砖的长为45cm、宽为15cm。解题后的思考：几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应注意认真分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解。例5：某人要在规定的时间内开车由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟，如果他以每小时75千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离。思路分析：1）题意分析：本题是一道常见的行程问题，关键是弄清等量关系及迟到24分钟与提前24分钟的含义。2）解题思路：不同的行驶速度对应不同的到达时间，可根据时间关系列方程组。解答过程：设从甲地到乙地的距离为s千米，从甲地到乙地的规定时间为t小时，根据题意得：s50＝t＋25s75＝t－25。解得s＝120t＝2。答：甲地到乙地的距离为120千米。解题后的思考：行程问题的基本关系式是路程＝速度×时间。此类问题易错在列方程组时时间单位不统一。例6：某城市为了缓解缺水状况，实施了一项引水工程，就是把200千米以外的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给了甲、乙两个施工队，工期50天，甲、乙两队合作了30天后，乙队因另外有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修了0.6千米，10天后乙队回来，为了保证工期，甲队速度不变，乙队每天也比原来多修0.4千米，结果如期完成工程。问：甲、乙两队原计划每天各修多少千米？思路分析：1）题意分析：计划和实际工期都是50天，工程总量都是200千米。实际施工时工程被分成三部分：前30天，中间10天，后10天。这三个时间段甲队和乙队的施工速度有所不同。2）解题思路：数量关系如下表，可根据工程总量是200千米列方程组。时间段前30天中间10天后10天速度（和）x＋yx＋0.6（x＋0.6）＋（y＋0.4）工作量解答过程：设原计划甲队每天修x千米，乙队每天修y千米，由题意可得50x＋50y＝20030（x＋y）＋10（x＋0.6）＋10（x＋0.6＋y＋0.4）＝200，解得x＝2.4y＝1.6。答：甲队原计划每天修2.4千米，乙队原计划每天修1.6千米。解题后的思考：本题是一道工程问题，等量关系有两个：（1）两施工队的原速度和；（2）总工程量。两个未知数也很明显。例7：现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1，今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？思路分析：1）题意分析：本题欲求两个未知量，可直接设出两个未知数，然后列出二元一次方程组解决，题中有以下几个相等关系：（1）甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和＝50；（2）混合前两种溶液所含纯酒精质量之和＝混合后的溶液所含纯酒精的质量；（3）混合前两种溶液所含水的质量之和＝混合后溶液所含水的质量；（4）混合前两种溶液所含纯酒精之和与水之和的比＝混合后溶液所含纯酒精与水的比。2）解题思路：上述关系都可以用来列方程组，但应选择较简单的数量关系。解答过程：解法一：设甲、乙两种酒精溶液分别取xkg和ykg，依题意，有x＋y＝50310x＋45y＝35×50解这个方程组得x＝20y＝30。答：甲取20kg，乙取30kg。解法二：设甲、乙两种酒精溶液分别取10xkg和5ykg，则甲种酒精溶液含水7xkg，乙种酒精溶液含水ykg，根据题意，得10x＋5y＝507x＋y＝25×50，解得x＝2y＝6。10x＝20，5y＝30。答：甲取20kg，乙取30kg。解题后的思考：此题的第（1）个相等关系比较明显，关键是正确找到另外一个相等关系，解这类问题常用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等。小结：列方程组解应用题，首先要设未知数，多数题目可以直接设未知数，但并不是千篇一律的，问什么就设什么。有时候需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知数，如例3和例5分别增设了无风速度x和规定时间t，用它们来联系各量之间的关系，列方程组时就显得容易多了。知识点二：方案设计型问题例8：已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元，某市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台。请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由。思路分析：1）题意分析：本题是一道方案设计型问题，由于电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，而东坡中学只计划购进两种不同型号的电脑，所以购买方案有三种：选择A型和B型、选择A型和C型、选择B型和C型。2）解题思路：设计购买方案的关键是如何从A、B、C三种型号中挑选出两种，使台数为36台、且100500元钱全部用完。应对购买的三种方案进行分类讨论，然后再选择符合条件的解。解答过程：设从该电脑公司购进A型电脑x台，购进B型电脑y台，购进C型电脑z台，则可分以下三种情况考虑：（1）只购进A型电脑和B型电脑，依题意可列方程组6000x＋4000y＝100500x＋y＝36，解得x＝－21.75y＝57.75（不合题意，应舍去）。（2）只购进A型电脑和C型电脑，依题意列方程组6000x＋2500z＝100500x＋z＝36，解得x＝3z＝33。（3）只购进B型电脑和C型电脑，依题意可列方程组4000y＋2500z＝100500y＋z＝36，解得y＝7z＝29。答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台。解题后的思考：①本题对进货的要求是“购进其中两种不同型号的电脑”，由于电脑公司提供了三种型号的电脑，故有三种不同的购货方案，应分类讨论。②所求结论必须符合题意，即电脑台数不能为小数、分数。小结：“方案优化与设计”类型的题目逐渐成为热点考题，尤其是运用二元一次方程组求解的试题更为常见。这类题目的特点比较突出，需要分类讨论不同的方案，选择满足某种要求的或是最优的方案。难点在于要求解的量不明显，其实，要求解的量恰恰是隐藏在“方案”中。如例8，怎样从A、B、C三种型号的电脑中挑选出两种，使台数为36台且100500元钱全部用完呢？就是求购买不同型号的电脑的台数。提分技巧明确各类应用题中的基本数量关系，是正确列出方程的关键。常遇到的几类应用题及其基本关系如下：①行程问题：基本关系式为：速度×时间＝路程；②工程问题：基本关系式为：工作效率×工作时间＝工作总量，计划数量×超额百分数＝超额数量，计划数量×实际完成百分数＝实际数量；③浓度问题：基本关系式