第八章第三节抛物线

1第八章第三节抛物线题组一抛物线的定义及应用1.已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有()A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|解析：由抛物线的定义知，|FP1|＝x1＋p2，|FP2|＝x2＋p2，|FP3|＝x3＋p2，∵2x2＝x1＋x3，∴2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.答案：C2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为()A．4B．－2C．4或－4D．12或－2解析：设标准方程为x2＝－2px(p＞0)，由定义知p到准线距离为4，故p2＋2＝4，∴p＝4，∴方程为x2＝－8y，代入P点坐标得m＝±4.答案：C题组二抛物线的标准方程及几何性质3.抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M到x轴的距离是()A.1716B.78C．1D.1516解析：抛物线化标准方程为x2＝14y，准线方程为y＝－116，M到准线的距离为1，所以到x轴的距离等于1－116＝1516.2答案：D4．(2009·山东高考)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x解析：不论a值正负，抛物线的焦点坐标都是(a4，0)，故直线l的方程为y＝2(x－a4)，令x＝0得y＝－a2，故△OAF的面积为12×|a4|×|－a2|＝a216＝4，故a＝±8.答案：B5．(2010·湛江模拟)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________________________________________________________________________．解析：设抛物线方程为y2＝ax.A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，y21＝ax1，①y22＝ax2，②∴①－②得y21－y22＝a(x1－x2)，∴(y1＋y2)·y1－y2x1－x2＝a，∴a＝4×1＝4，∴y2＝4x.答案：y2＝4x题组三直线与抛物线的位置关系6.已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是()A.π6或5π6B.π4或3π4C.π3或2π3D.π2解析：抛物线焦点是(32，0)，设直线方程为y＝k(x－32)，代入抛物线方程，得k2x2－(3k2＋6)x－94k2＝0，设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3k2＋6k2，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝3k2＋6k2＋3＝12，解得k＝±1，3∴直线的倾斜角为π4或3π4.答案：B7．已知M(a,2)是抛物线y2＝2x上的一定点，直线MP、MQ的倾斜角之和为π，且分别与抛物线交于P、Q两点，则直线PQ的斜率为()A．－14B．－12C.14D.12解析：由题意得M(2,2)，设P(y212，y1)，Q(y222，y2)，由kMP＝－kMQ，得y1－2y212－2＝－y2－2y222－2，得y1＋y2＝－4，故kPQ＝y2－y1y222－y212＝2y1＋y2＝－12.答案：B8．已知抛物线C的方程为x2＝12y，过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.－∞，－22∪22，＋∞C．(－∞，－22)∪(22，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线方程为y＋13＋1＝x－0t－0，即4x－ty－t＝0，由4x－ty－t＝0，x2＝12y得2tx2－4x＋t＝0，Δ＝16－4×2t20，∴t－2或t2.答案：D题组四抛物线的综合问题49.如图，F为抛物线y2＝2px的焦点，A(4,2)为抛物线内一定点，P为抛物线上一动点，且|PA|＋|PF|的最小值为8.(1)求该抛物线的方程；(2)如果过F的直线l交抛物线于M、N两点，且|MN|≥32，求直线l的倾斜角的取值范围．解：(1)设P点到抛物线的准线x＝－p2的距离为d，由抛物线的定义知d＝|PF|，∴(|PA|＋|PF|)min＝(|PA|＋d)min＝p2＋4，∴p2＋4＝8⇒p＝8，∴抛物线的方程为y2＝16x.(2)由(1)得F(4,0)，设直线l的方程为y＝k(x－4)，显然k≠0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，把直线方程代入抛物线，得k2x2－(8k2＋16)x＋16k2＝0，x1＋x2＝8k2＋16k2，x1·x2＝16，∴|MN|＝1＋k2×(x1＋x2)2－4x1x2＝1＋k2×8k2＋16k22－64＝1＋k2×64k4＋162k2＋162－64k4k2＝1＋k2k2×161＋k2＝16(1＋k2)k2≥32，∴k2≤1，即－1≤k≤1，∴直线l斜率的取值范围为[－1,0)∪(0,1]，∴直线l倾斜角的取值范围为0，π4∪3π4，π.10．(2009·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，拋物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上．(1)求拋物线C的标准方程；(2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；(3)设过点M(m,0)(m0)的直线交拋物线C于D、E两点，ME＝2DM，设D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式．解：(1)由题意，可设拋物线C的标准方程为y2＝2px.因为点A(2,2)在拋物线C上，所以p＝1.因此，拋物线C的标准方程为y2＝2x.5(2)由(1)可得焦点F的坐标是(12，0)，又直线OA的斜率为22＝1，故与直线OA垂直的直线的斜率为－1.因此，所求直线的方程是x＋y－12＝0.(3)法一：设点D和E的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，直线DE的方程是y＝k(x－m)，k≠0.将x＝yk＋m代入y2＝2x，有ky2－2y－2km＝0，解得y1,2＝1±1＋2mk2k.由ME＝2DM知1＋1＋2mk2＝2(1＋2mk2－1)．化简得k2＝4m.因此DE2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(1＋1k2)(y1－y2)2＝(1＋1k2)4(1＋2mk2)k2＝94(m2＋4m)．所以f(m)＝32m2＋4m(m0)．法二：设D(s22，s)，E(t22，t)．由点M(m,0)及ME＝2DM，得12t2－m＝2(m－s22)，t－0＝2(0－s)．因此t＝－2s，m＝s2.所以f(m)＝DE＝(2s2－s22)2＋(－2s－s)2＝32m2＋4m(m0)．