第八章第三节直线的交点坐标与距离公式

第八章第三节直线的交点坐标与距离公式题组一两条直线的交点问题1.若直线l1：y＝kx＋k＋2与l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是()A．k－23B．k2C．－23k2D．k－23或k2解析：由y＝kx＋k＋2y＝－2x＋4得x＝2－kk＋2y＝6k＋4k＋2，由2－kk＋206k＋4k＋20得－2k2，k－2或k－23，∴－23k2.答案：C2．若y＝a|x|的图像与直线y＝x＋a(a0)有两个不同交点，则a的取值范围是()A．0a1B．a1C．a0且a≠1D．a＝1解析：结合图像知，a的取值范围是a1.答案：B题组二有关直线的对称问题3.直线l：4x＋3y－2＝0关于点A(1,1)对称的直线方程为()A．4x＋3y－4＝0B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0D．4x－3y－12＝0解析：在对称直线上任取一点P(x，y)，则点P关于点A对称的点P′(x′，y′)必在直线l上．由x′＋x＝2y′＋y＝2得P′(2－x,2－y)，∴4(2－x)＋3(2－y)－2＝0，即4x＋3y－12＝0.答案：B4．(2010·临沂质检)已知A(3,1)、B(－1,2)，若∠ACB的平分线在y＝x＋1上，则AC所在直线方程是____________．解析：设点A关于直线y＝x＋1对称的点A′(x0，y0)，则y0－1x0－3＝－1y0＋12＝x0＋32＋1，解得x0＝0y0＝4，即A′(0,4)．∴直线A′B的方程为2x－y＋4＝0.由2x－y＋4＝0y＝x＋1得x＝－3y＝－2，得C(－3，－2)．∴直线AC的方程为x－2y－1＝0.答案：x－2y－1＝0题组三有关距离问题5.点(1，cosθ)到直线xsinθ＋ycosθ－1＝0的距离是14(0°≤θ≤180°)，那么θ＝()A．150°B．30°或150°C．30°D．30°或210°解析：由题意知14＝|sinθ＋cos2θ－1|sin2θ＋cos2θ＝|sinθ－sin2θ|，又0≤sinθ≤1，∴sin2θ－sinθ＋14＝0，(sinθ－12)2＝0，∴sinθ＝12，又0°≤θ≤180°，∴θ＝30°或150°.答案：B6．(2010·武汉模拟)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于()A.79B．－13C．－79或－13D.79或13解析：由题意知|6a＋3＋1|a2＋1＝|－3a－4＋1|a2＋1，解得a＝－13或a＝－79.答案：C7．(2010·孝昌模拟)若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为()A．23B．33C．32D．42解析：由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l，其方程为x＋y－6＝0，∴M到原点的距离的最小值为d＝62＝32.答案：C题组四综合问题8.(2010·哈尔滨模拟)若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点()A．(1，－2)B．(1,2)C．(－1,2)D．(－1，－2)解析：因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b＝－2，即b＝－k－2，于是直线方程化为y＝kx－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)．答案：A9．点P(－1,3)到直线l：y＝k(x－2)的距离的最大值等于()A．2B．3C．32D．23解析：直线l：y＝k(x－2)的方程化为kx－y－2k＝0，所以点P(－1,3)到该直线的距离为d＝3|k＋1|k2＋1＝3k2＋2k＋1k2＋1＝31＋2kk2＋1，由于2kk2＋1≤1，所以d≤32，即距离的最大值等于32.答案：C10．已知点A(3,1)，在直线x－y＝0和y＝0上分别有点M和N使△AMN的周长最短，求点M、N的坐标．解：A(3,1)关于y＝x的对称点A1(1,3)，A(3,1)关于y＝0的对称点A2(3，－1)，△AMN的周长最小值为|A1A2|，|A1A2|＝25，A1A2的方程：2x＋y－5＝0.A1A2与x－y＝0的交点为M，由2x＋y－5＝0x－y＝0⇒M(53，53)，A1A2与y＝0的交点N，由2x＋y－5＝0y＝0⇒N(52，0)．11．已知n条直线：l1：x－y＋C1＝0，C1＝2且l2：x－y＋C2＝0，l3：x－y＋C3＝0，…，ln：x－y＋Cn＝0，其中C1C2C3…Cn，这n条平行直线中，每相邻两条之间的距离顺次为2,3,4，…，n.(1)求Cn；(2)求x－y＋Cn＝0与x轴、y轴围成的图形的面积．解：(1)由已知条件可得l1：x－y＋2＝0，则原点O到l1的距离d1＝1，由平行直线间的距离可得原点O到ln的距离dn为1＋2＋…＋n＝n(n＋1)2，∵Cn＝2dn，∴Cn＝2·n(n＋1)2.(2)设直线ln：x－y＋Cn＝0交x轴于点M，交y轴于点N，则△OMN的面积S△OMN＝12|OM|·|ON|＝12(Cn)2＝n2(n＋1)24.