第八章第五节椭圆

1第八章第五节椭圆一、选择题1．已知F1，F2是椭圆x216＋y29＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()A．6B．5C．4D．32．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数为()A．至多一个B．2个C．1个D．0个3．已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)与双曲线C2：x2－y24＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则()A．a2＝132B．a2＝13C．b2＝12D．b2＝24．已知椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且1MF·2MF＝0，则点M到y轴的距离为()A.233B.263C.33D.35．方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)的椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个端点，若31DF＝DA＋22DF，则该椭圆的离心率为()A.12B.13C.14D.156．已知椭圆E：x2m＋y24＝1，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长与l：y＝kx＋1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是()2A．kx＋y＋k＝0B．kx－y－1＝0C．kx＋y－k＝0D．kx＋y－2＝0二、填空题7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO＋∠BFO＝90°，则椭圆的离心率是________．8．设F1、F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．9．设F1，F2分别为椭圆x23＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若1FA＝52FB，则点A的坐标是________．三、解答题10．设椭圆C∶x2a2＋y2b2＝1(ab0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆x24＋y22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C.连接AC，并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.(1)当直线PA平分线段MN时，求k的值；(2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；(3)对任意的k0，求证：PA⊥PB.312．已知椭圆G∶x24＋y2＝1.过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．详解答案一、选择题1．解析：根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.答案：A2．解析：∵直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，∴4m2＋n22，∴m2＋n24，∴m29＋n24m29＋4－m24＝1－536m21，∴点(m，n)在椭圆x29＋y24＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数为2个．答案：B3．解析：如图所示设直线AB与椭圆C1的一个交点为C(靠近A的交点)，则|OC|＝a3，因tan∠COx＝2，∴sin∠COx＝25，cos∠COx＝15，4则C的坐标为(a35，2a35)，代入椭圆方程得a245a2＋4a245b2＝1，∵5＝a2－b2，∴b2＝12.答案：C4．解析：由题意，得F1(－3，0)，F2(3，0)．设M(x，y)，则1MF·2MF＝(－3－x，－y)·(3－x，－y)＝0，整理得x2＋y2＝3①.又因为点M在椭圆上，故x24＋y2＝1，即y2＝1－x24②.将②代入①，得34x2＝2，解得x＝±263.故点M到y轴的距离为263.答案：B5．解析：设点D(0，b),则1DF＝(－c，－b)，DA＝(－a，－b)，2DF＝(c，－b)，由31DF＝DA＋22DF得－3c＝－a＋2c，即a＝5c，故e＝15.答案：D6．解析：A选项中，当k＝－1时，两直线关于y轴对称，两直线被椭圆E截得的弦长相等；B选项中，当k＝1时，两直线平行，两直线被椭圆E截得的弦长相等；C选项中，当k＝1时，两直线关于y轴对称，两直线被椭圆E截得的弦长相等．答案：D二、填空题7．解析：∵∠BAO＋∠BFO＝90°，∴∠BAO＝∠FBO.∴OBOA＝OFOB.即OB2＝OA·OF，∴b2＝ac.∴a2－c2－ac＝0.∴e2＋e－1＝0.∴e＝－1±1＋42＝－1±52.又∵0e1，∴e＝5－12.答案：5－128．解析：由椭圆定义知|PM|＋|PF1|＝|PM|＋2×5－|PF2|，而|PM|－|PF2|≤|MF2|＝5，所以|PM|＋|PF1|≤2×5＋5＝15.答案：1559．解析：根据题意设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(c，d)．F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－2，0)、(2，0)，可得1FA＝(m＋2，n)2FB＝(c－2，d)．∵1FA＝52FB，∴c＝m＋625，d＝n5.∵点A、B都在椭圆上，∴m23＋n2＝1，m＋62523＋(n5)2＝1.解得m＝0，n＝±1，故点A坐标为(0，±1)．答案：(0，±1)三、解答题10．解：(1)将(0,4)代入C的方程得16b2＝1，∴b＝4，由e＝ca＝35得a2－b2a2＝925，即1－16a2＝925，∴a＝5，∴C的方程为x225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝45(x－3)代入C的方程，得x225＋x－3225＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＝3－412，x2＝3＋412，∴AB的中点坐标x－＝x1＋x22＝32，y－＝y1＋y22＝25(x1＋x2－6)＝－65，即中点坐标为(32，－65)．11．解：由题设知，a＝2，b＝2，故M(－2,0)，N(0，－2)，所以线段MN中点的坐标为(－1，－22)．由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以k＝－22－1＝22.(2)直线PA的方程为y＝2x，代入椭圆方程得x24＋4x22＝1，解得x＝±23，因此P(23，43)，6A(－23，－43)．于是C(23，0)，直线AC的斜率为0＋4323＋23＝1，故直线AB的方程为x－y－23＝0.因此，d＝|23－43－23|12＋12＝223.(3)证明：法一：将直线PA的方程y＝kx代入x24＋y22＝1，解得x＝±21＋2k2记μ＝21＋2k2，则P(μ，μk)，A(－μ，－μk)．于是C(μ，0)．故直线AB的斜率为0＋μkμ＋μ＝k2，其方程为y＝k2(x－μ),代入椭圆方程并由μ＝21＋2k2得(2＋k2)x2－2μk2x－μ2(3k2＋2)＝0，解得x＝μ3k2＋22＋k2或x＝－μ.因此B(μ3k2＋22＋k2，μk32＋k2)．于是直线PB的斜率k1＝uk32＋k2－μkμ3k2＋22＋k2－μ＝k3－k2＋k23k2＋2－2＋k2＝－1k.因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.法二：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x10，x20，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1,0)．设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2.因为C在直线AB上，所以k2＝0－－y1x1－－x1＝y12x1＝k2.从而k1k＋1＝2k1k2＋1＝2·y2－y1x2－x1·y2－－y1x2－－x1＋1＝2y22－2y21x22－x21＋1＝x22＋2y22－x21＋2y21x22－x21＝4－4x22－x21＝0.因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.12．解：(1)由已知得a＝2，b＝1，所以c＝a2－b2＝3.所以椭圆G的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e＝ca＝32.(2)由题意知，|m|≥1.当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为(1，32)，(1，－32)，此时|AB|＝3.当m＝－1时，同理可得|AB|＝3.7当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．由y＝kx－m，x24＋y2＝1.得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝8k2m1＋4k2，x1x2＝4k2m2－41＋4k2.又由l与圆x2＋y2＝1相切，得|km|k2＋1＝1，即m2k2＝k2＋1.所以|AB|＝x2－x12＋y2－y12＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝1＋k2[64k4m21＋4k22－44k2m2－41＋4k2]＝43|m|m2＋3.由于当m＝±1时，|AB|＝3，所以|AB|＝43|m|m2＋3，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB|＝43|m|m2＋3＝43|m|＋3|m|≤2，且当m＝±3时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.