第八章综合题答案时

第八章综合题答案1.解:矩形的对角线为:22yxuyyxyxyxxyuxuuyx2222当1.0,05.0,8,6yxyx时,05.0)1.0805.06(86122u所以矩形的对角线约减少5厘米.2.解:因为2222221sin)(0yxyxyx,且0lim22)0,0(),(yxyx所以)0,0(01sin)(lim2222)0,0(),(fyxyxyx,.所以函数在)0,0(点连续01sinlim)0,0()0,(lim)0,0(2200'xxxxfxffxxx同理可得0)0,0('yf,所以函数在)0,0(点偏导数存在.在)0,0(点,函数增量与全微分的差为:222222''1sin1sin)(])0,0()0,0([)0,0(yxyxyfxffyx01sinlim220,所以函数在)0,0(点可微.3.(1)解:xyyxxyxxyvuyvxvvzxuuzxz22coscossincoscossin.cos1..xyyxyxyvxuvyxyvvzyuuzyzcoscossincossin..22(2)解:'2'1'2'12.2.fyexfyefxfxzxyxy'2'12fxeyfyzxy4.解:yxefxfxz.cos.'3'1''13''33)(2''112'3'1''33''31'3''13''11'122cos2cossin)(cos).cos(cossinfxefexffexffexfefeefxfxxfxzyxyxyxyxyxyxyx)sin()sin(cos''33''32'3''13''122feyffefeyfxyxzyxyxyx5证明:23.21.yuxusu,21.)23.(yuxutu所以2222)2123()23.21.()()(yuxuyuxutusu2222)()(.23.23)4143()()4341()(yuxuyuxuyuxuyuxu又因为)23.21.(23)23.21.(2122222222yuxyuyxuxusu]21.)23.([21]21.)23.([2322222222yuxyuyxuxutu所以22222222222222222241432434343241yuxuyuyxuxuyuyxuxutusu6．证明：因为'''''',,yzxyzxFFzyFFyxFFxz所以1..zyyxxz7．证明：uuty.'.'，''xy，''2''222uuty，''''22xy所以，22222xyuty8．（1）解：方程两边对x求导，得：132dxdzdxdyxdxdzzdxdyy所以，zyzxzyzxdxdy2333231，zyyxzyxydxdz2323212（2）解：方程两边对x求导，得：130322xuyxvvvxvxxuu，所以，xyvuxvvyxuvxvxu223222933331，xyvuvyuvyxuyvuxv222222933313同理可得：xyvuxuvyu22293，xyvuyuyv223939．解：设曲线的参数方程为)()(yzzyyyxx，切向量为：)2,,(),1,(aaadydzdydxT原方程两边对y求导，得：aydydxxydydzzdydxx222222解得：xyadydx，zadydz。切向量为：)1,2,0(21)22,1,0(),1,()2,,(aaazaxyaT切线方程为：1220azayax法平面方程为：02:,0)2()(2zyazay即10．证明：2'22'1)()(.axczFaxbyFFx，axFFy1.'1，axFFz1'2在任一点),,(000zyx的切平面的法向量为：'20'10'2200'1200),,(1,1,)()(),,(000FaxFaxFaxzcFaxybFFFnzyxzyz切平面方程为：01)(1)())()()(('200'100'2200'12000FaxzzFaxyyFaxzcFaxybxx点(a,b,c)满足平面方程，所以曲面上任一点的切平面通过点(a,b,c)。11．解：令1),,(222zyxzyxF),,(),,(000222),,(000zyxFFFFFFnzyzzyxzyz12．解：12222byax的参数方程为：,sin,costbytax4)2,2(tbap对应相应的切向量为：)2,2()4cos,4sin(baba20,2),cos,(cos),(2222babbaae逆时针旋转2得内法线得方向向量为：),()]2cos(),2[cos(2222babbaan所求方向导数为：abbabaabbbabaabaayzbabxzpp)(2)(2.2)(2.2)(|)(|22222222222213.解:令)34,34(),0,4(),)(4,0(),)(0,0(:,0)4(0)4(舍舍解得驻点xyyxxyzxyyxyxz2764)34,34(,0)0,4(ff18)3,3(),6(2),(,61,610)5,1(,49)23,1(),3(),1(,50,1,0),(,61,0fxxyxfxyxffyyyfyxyxfxy最小值为时当最小值为最大值为时当时当18)3,3(,2764)34,34(,0)0,6(fff最小值为所以所求最大值为最大值为14.解:设矩形的一边长为x,则另一边长为(p-x)，绕(p-x)旋转,则体积V为:pxppxxpxdxdVxpxV31,32,032),(22得令由问题的实际意义知有最大值,且驻点唯一,所以当边长为pp31,32时,绕短边旋转体积最大.注:本题也可用条件极值的方法完成.第八章测试题答案1.选择题(1):B(2):B(3):B(4):C(5):D2.填空题:(1):041|),(222yxyxyx且(2):01116816zyx(3):),(),('1yyexyxyfexyfxz(4):极大值81)6,6,6(u(5):1)0,1()1,0(zz3求函数的偏导数(1):解xxxxxxxyeyxzeyxxeyxxexxzeyxxeyxxexz2222222222222222224)1242(2)(4)12(2)(2)(22(2)解:令则,3lnsin),,(2zyyxzyxFyzzyzyxFFyzyyxzFFxzzyzx2lncos2sin22(3)解:不存在所以不存在)0,0(,,limlimlim)0,0(0200xxxxxfxxxxxzf0)0,0(,0limlimlim)0,0(0400yyyyyfyxyyzf所以4.解:对方程)(zyxz两边求微分得:dyzyzfdxzyffzydyzdxfdxfdzfdxfduzydyzdxdzdzzydyzdxdz)(1)())(1()(1)(.,)(1)()()(''2''2'1''2'1'2'1''5解:.,,,,033而在其它点处都连续都间断上的所有点处所以函数在直线函数无定义时即当xyxyyx6.解:jiugradzuxyuyxuzyx23)0,0,0(0|6|2|)24(|3|)32(|)0,0,0()0,0,0()0,0,0()0,0,0()0,0,0()0,0,0(所以7.解:令:.)78,0,716(,0,0154|,0|,154|,)78,0,716(.)1,0,2(,0,0,154|,0|,154|,)1,0,2(,,0,0,)182()2(4)821(4)821()2)(84()821(8)182()82)(84()84)(182()78,0,716(),1,0,2(:,716,2082442:,,02:,018240182842)78,0,716(22)78,0,716(2)78,0,716(222)1,0,2(22)1,0,2(2)1,0,2(222222222221222是极大值点所以且所以点在是极小值点所以且所以点在所以因为驻点处求得驻点得代入原方程解得ABACyzCyxzBxzAABACyzCyxzBxzAyzxzxzyzyxzyzxzyzzxxzyzyxzxzxzzxxzxzxzxxxxxxyxzxzyFFyzxzzxFFxzzyzx