第29讲等比数列

第1页共11页普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座29）—等比数列一．课标要求：1．通过实例，理解等比数列的概念；2．探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式；3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等比数列与指数函数的关系。二．命题走向等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具。预测07年高考对本讲的考察为：（1）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的1~2道客观题目；（2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点；（3）解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。三．要点精讲1．等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(0)q，即：1na：(0)naqq数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，5，21。（注意：“从第二项起”、“常数”q、等比数列的公比和项都不为零）2．等比数列通项公式为：)0(111qaqaann。说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}na为等比数列，则mnmnaqa。3．等比中项如果在ba与中间插入一个数G，使bGa,,成等比数列，那么G叫做ba与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。4．等比数列前n项和公式一般地，设等比数列123,,,,,naaaa的前n项和是nS123naaaa，当1q时，qqaSnn1)1(1或11nnaaqSq；当q=1时，1naSn（错位相减法）。说明：（1）nSnqa,,,1和nnSqaa,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是nq，通项公式中是1nq不要混淆；（3）应用求和公式时1q，必要时应讨论1q的情况。第2页共11页四．典例解析题型1：等比数列的概念例1．“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为21的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac”；“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解析：四个命题中只有最后一个是真命题。命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列；命题2中可知an+1=an×21，an+1an未必成立，当首项a10时，an0，则21anan，即an+1an，此时该数列为递增数列；命题3中，若a=b=0，c∈R，此时有acb2，但数列a,b,c不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b=ac，则成为不必要也不充分条件。点评：该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论，为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。例2．命题1：若数列{an}的前n项和Sn=an+b(a≠1)，则数列{an}是等比数列；命题2：若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a≠0)，则数列{an}是等差数列；命题3：若数列{an}的前n项和Sn=na－n，则数列{an}既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中，真命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个解析：由命题1得，a1=a+b，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(a－1)·an－1。若{an}是等比数列，则12aa=a，即baaa)1(=a，所以只有当b=－1且a≠0时，此数列才是等比数列。由命题2得，a1=a+b+c，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=2na+b－a，若{an}是等差数列，则a2－a1=2a，即2a－c=2a，所以只有当c=0时，数列{an}才是等差数列。由命题3得，a1=a－1，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=a－1，显然{an}是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a－1≠0；即a≠1时数列{an}才又是等比数列。点评：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，上述三个命题均涉及到Sn与an的关系，它们是an=,11nnSSa时当时当21nn，正确判断数列{an}是等差数列或等比数列，都必须用上述关系式，尤其注意首项与其他各项的关系。上述三个命题都不是真命题，选择A。题型2：等比数列的判定例3．（2000全国理，20）（Ⅰ）已知数列｛cn｝，其中cn＝2n＋3n，且数列｛cn＋1－pcn｝第3页共11页为等比数列，求常数p；（Ⅱ）设｛an｝、｛bn｝是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，证明数列｛cn｝不是等比数列。解析：（Ⅰ）解：因为｛cn＋1－pcn｝是等比数列，故有：（cn＋1－pcn）2＝（cn＋2－pcn＋1）（cn－pcn－1），将cn＝2n＋3n代入上式，得：［2n＋1＋3n＋1－p（2n＋3n）］2＝［2n＋2＋3n＋2－p（2n＋1＋3n＋1）］·［2n＋3n－p（2n－1＋3n－1）］，即［（2－p）2n＋（3－p）3n］2＝［（2－p）2n＋1＋（3－p）3n＋1］［（2－p）2n－1＋（3－p）3n－1］，整理得61（2－p）（3－p）·2n·3n＝0，解得p=2或p=3。（Ⅱ）证明：设｛an｝、｛bn｝的公比分别为p、q，p≠q，cn=an+bn。为证｛cn｝不是等比数列只需证c22≠c1·c3。事实上，c22＝（a1p＋b1q）2＝a12p2＋b12q2＋2a1b1pq，c1·c3＝（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）＝a12p2＋b12q2＋a1b1（p2＋q2），由于p≠q，p2＋q2＞2pq，又a1、b1不为零，因此c22≠c1·c3，故｛cn｝不是等比数列。点评：本题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力。例4．（2003京春，21）如图3—1，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去.记圆On的面积为an（n∈N*），证明{an}是等比数列；证明：记rn为圆On的半径，则r1=2ltan30°=l63。nnnnrrrr11=sin30°=21，所以rn=31rn－1（n≥2），于是a1=πr12=91)(,122112nnnnrraal，故{an}成等比数列。点评：该题考察实际问题的判定，需要对实际问题情景进行分析，最终对应数值关系建立模型加以解析。题型3：等比数列的通项公式及应用例5．一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。解析：设所求的等比数列为a，aq，aq2；则2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；图3—1第4页共11页解得a=2，q=3或a=92，q=－5；故所求的等比数列为2，6,18或92，－910，950。点评：第一种解法利用等比数列的基本量qa,1，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁。例6．（2006年陕西卷）已知正项数列na，其前n项和nS满足21056,nnnSaa且1215,,aaa成等比数列，求数列na的通项.na解析：∵10Sn=an2+5an+6，①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3。又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0∵an+an－10,∴an－an－1=5(n≥2)。当a1=3时，a3=13，a15=73，a1,a3,a15不成等比数列∴a1≠3；当a1=2时,，a3=12，a15=72，有a32=a1a15,∴a1=2,∴an=5n－3。点评：该题涉及等比数列的求和公式与等比数列通项之间的关系，最终求得结果。题型4：等比数列的求和公式及应用例7．（1）（2006年辽宁卷）在等比数列na中,12a,前n项和为nS,若数列1na也是等比数列，则nS等于（）A．122nB．3nC．2nD．31n（2）（2006年北京卷）设4710310()22222()nfnnN，则()fn等于（）A．2(81)7nB．12(81)7nC．32(81)7nD．42(81)7n（3）（1996全国文，21）设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q；解析：（1）因数列na为等比，则12nnaq，因数列1na也是等比数列，则22121122212(1)(1)(1)22(12)01nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaqqq即2na，所以2nSn，故选择答案C。（2）D；（3）解：若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。因a1≠0，得S3+S6≠2S9，显然q=1与题设矛盾，故q≠1。由S3+S6=2S9，得qqaqqaqqa1)1(21)1(1)1(916131，整理得q3（2q6－q3－1）第5页共11页=0，由q≠0，得2q6－q3－1=0，从而（2q3＋1）（q3－1）=0，因q3≠1，故q3=－21，所以q=－243。点评：对于等比数列求和问题要先分清数列的通项公式，对应好首项和公比求出最终结果即可。例8．（1）（2002江苏，18）设｛an｝为等差数列，｛bn｝为等比数列，a1＝b1＝1，a2＋a4＝b3，b2b4＝a3．分别求出｛an｝及｛bn｝的前10项的和S10及T10；（2）（2001全国春季北京、安徽，20）在1与2之间插入n个正数a1，a2，a3……，an，使这n＋2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b1，b2，b3，……，bn，使这n＋2个数成等差数列.记An＝a1a2a3……an，Bn＝b1＋b2＋b3＋……＋bn.（Ⅰ）求数列｛An｝和｛Bn｝的通项；（Ⅱ）当n≥7时，比较An与Bn的大小，并证明你的结论。（3）（2002天津理，22）已知｛an｝是由非负整数组成的数列，满足a1＝0，a2＝3，an＋1an＝（an－1＋2）（an－2＋2），n＝3，4，5，…．（Ⅰ）求a3；（Ⅱ）证明an＝an－2＋2，n＝3，4，5，…；（Ⅲ）求｛an｝的通项公式及其前n项和Sn。解析：（1）∵｛an｝为等差数列，｛bn｝为等比数列，∴a2＋a4＝2a3，b2b4＝b32．已知a2＋a4＝b3，b2b4＝a3，∴b3＝2a3，a3＝b32．得b3＝2b32．∵b3≠0∴b3＝21，a3＝41．由a1＝1，a3＝41知｛an｝的公差为d＝83，∴S10＝10a1＋8552910d．由b1＝1，b3＝21知｛bn｝的公比为q＝22或q＝22．第6页共11页当q＝22时，)22(32311)1(10110qqbT，当q＝22时，)22(32311)1(10110qqbT。（2）（Ⅰ）设公比为q，公差为d，等比数列1，a1，a2，……，an，2，等差数列1，b1，b2，……，bn，2。则A1＝a1＝1·qA2＝1·q·1·q2A3＝1·q·1·q2·1·q3又∵an＋2＝1·qn＋1＝2得qn＋1＝2，An＝q·q2…qn＝q222)1(nnn（n＝1，2，3…）又∵bn＋2＝1＋（n＋1）d＝2∴（n＋1）