第2章行列式

1第二章行列式（讲授6课时）一、教学目的：1、理解并掌握排列、逆序、逆序数奇偶排列的定义。掌握排列的奇偶性与对换的关系。2、深刻理解和掌握N级行列式的定义，能用定义计算一些特殊行列式。3、熟练掌握行列式的基本性质。4、正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行列式性质计算一些简单行列式。5、正确理解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌握行列式按一行（列）展开的公式。掌握“化三角形法”、“数学归纳法”、“升阶法”、“递推法”、“特征根法”、“降阶法”、“分块矩阵法”等计算行列式的技巧。6、熟练掌握克莱姆法则。二、教学内容：1、排列、N阶行列式的定义、N阶行列式的性质。2、行列式的计算方法、行列式按一行（列）展开、克莱姆法则。三、教学重点：行列式的性质、行列式计算方法与技巧、克莱姆法则。四、教学难点：多项式互素、最大公因式、不可约多项式及多项式分解五、教学方法：启发讲授式六、教学过程：一、行列式基本知识点1、行列式定义(1)121212()21(1),nnnnjjjjjnjjjjnnnaaaaaaa1111其中12()njjj为排列12njjj的逆序数。(2)121212()121(1)nnnniiiiiiniiinnnaaaaaaa111,其中12()niii为排列12niii的逆序数。22、行列式性质(1)、三角形行列式的值○1三角形行列式的值221120000.00nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa111211122221122○2非主对角得三角形行列式的值1(1)2,12,122,1112,11000000(1).000nnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa1111211221221(2)、行列式转置，行列式值不变2112122122nnnnTnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaAAaaaaaa11121112212221(3)一个数乘行列式等于这个数乘行列式的某行或某列。111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa(4)、行列式某两行或某两列对应元素成比例，行列式值为零。(5)、如果行列式某两行(或某两列)是两组数之和，那么此行列式等于两个新行列式的和。而这两个新行列式除去这一行(或列)外所有元素与原行列式的对应行(或者列)一样。1112111111111112122222212221221211()()()iinininiinininnnnininnnninnnninnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa(6)、交换行列式中的某两行(或某两列)，行列式值反号。3(7)、将行列式某行(或某列)的非零常数倍加到其它行(或其它列)，行列式值不变.111111111112122221222211()()()ijnijjnijjijjjnninjnjnninjnjnjaaaaaakaaaaaaaaakaaaaaaaaakaaa(8)、行列式可按某行(或某列)展开21222112212nnkkkkknknkkkknknknnnnaaaaaaaAaAaAaAaAaAaaa1112122113、两个特殊行列式(1)、范德蒙德行列式：1222212111112111()nnjiijnnnnnaaaaaaaaaaa(2)、分块行列式：0ACAAABBCBB000，其中A、B为,mn阶行列式。00(1)0mnCBBBABAACA0，其中A、B为,mn阶行列式。4、克莱姆法则11112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb其系数行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa，则方程组的解为312123,,,,nnDDDDxxxxDDDD,其中，111,111,111,1,1jjnjnnjnnjnnaabaaDaabaa4二、n阶行列式的计算1、定义法例题2.1：n阶计算行列式0200.1000000nDnn0010=2、比例法例题2.2：n阶计算行列式111212122212nnnnnnnababababababDababab=3、化三角形法例题2.3：一个n阶行列式nD的元素max(,)ijaij=，求123223333nnnDnnnnn4、降阶法例题2.4：设111,1212,11,1111nnnnnaaaaDaa=，将D的第i行换成11,,nxx，1，为iD。证明：1nDDD5、全行列式法例题2.5：求多项式121212()nnnaxaaaaxafxaaax=的根6、拆(合)分项法例题2.6：计算行列式111212112122221122,(3)nnnnnnnnnnabcabcabcabcabcabcDnabcabcabc=57、加边法(升阶法)例题2.7：计算行列式1121nxxxxxxxxDxxxxn=。8、行列式乘法规则例题2.8：计算行列式111212122212121212nnnnnnnxyxynxyxyxynxyDxyxynxy=9、换元法例题2.9：求证：12()()nnxaaabxaaafbbfaDabbbbx=，其中1()()()nfxxxxx10、递推法(1)找出nD与1nD之间的关系式，利用此关系式求出nD。(2)找出nD与1nD之间的两个不同关系式，解方程求出nD。(3)若nD满足关系式：120nnnaDbDcD，做特征方程20axbxc，○1若0，则方程120nnnaDbDcD有两个不同的复数根12,xx，则1112nnnDsxtx，其中,st是待定系数，可由1,2nn求出。○2若0，则方程120nnnaDbDcD有重根12xx，则11()nnDsntx，其中,st是待定系数，可由1,2nn求出。例题2.10：计算行列式121100000001nnnxxDxaaaax=6例题2.11：计算行列式nxaaaaxaaDaaxaaaax=例题2.12：计算行列式nabcabDcabca=11、归纳法例题2.13：证明行列式：1100010001000000001nnnD=12、范德蒙德行列式法例题2.14：计算行列式12222122221212111nnnnnnnnnnnxxxxxxDxxxxxx=。13、循环行列式法例题2.15：计算行列式1211231nnnnaaaaaaDaaa=.14、析因子法7例题2.16：计算行列式121121121112312311111nnnnnxaaaaxaaaaxaDaaaxaaaa=，其中1,,naa互不相同。15、克莱姆法则及另类习题例题2.17：设,,,abcd为互异的数，齐次线性方程组1234123422221234000xxxxaxbxcxdxaxbxcxdx，有非零解1234,,,)kkkk(，证明：1234,,,kkkk均非零。例题2.18：设,(1)nxaaaxaDxnaaax=，求1nnnAA。