第2章连续时间系统的时域分析

第2章连续时间系统的时域分析2.1基本要求1.掌握建立连续时间系统的数学模型的方法，对于电系统会借助微分算子与积分算子来建立系统的微分方程。2.掌握微分方程的时域求解方法。(1)时域完全解可分解为“齐次解+特解”、“零输入响应+零状态响应”、“稳态响应+瞬态响应”和“自由响应+强迫响应”。(2)了解用经典法求解微分方程的步骤：①能求出典型激励函数[E、pt、te、cos()t、sin()t、]作用下的特解；②深刻理解起始点的跳变(从0到0状态的转换)，了解由0状态求0状态的方法；③掌握微分方程的齐次解的求解方法，牢固掌握微分方程的特征方程、特征根的求法及由特征根写齐次解的方法；④掌握求完全解的方法。(3)掌握零输入响应()zirt的求解方法。(4)牢固掌握用卷积积分求解零状态响应()zsrt的方法：①冲激响应()ht的计算方法，重点学会用转移算子()Hp求()ht；②深刻理解()()()zsrtetht的物理意义；③熟记最基本的卷积积分公式，掌握借助图解法来确定卷积积分的上、下限的方法，会用基本卷积公式及图解法求()zsrt。2.2公式摘要2.2.1根据特征根情况设齐次解形式1.若特征根12,,,n为互不相同实根，齐次解可设为1212()nttthnrtAeAeAe。其中12,,,nAAA为待定系数。2.若1为k重特征根，则与1有关的齐次解部分可设为1212()kktkAtAtAe。其中12,,,kAAA为待定系数。3.若1与2为一重共轭复根pjq，则对应齐次解部分可设为12(cossin)pteAqtAqt。其中12,AA为待定系数。4.若1与2为k重共轭复根pjq，则对应齐次解部分可设为1111[()cos()sin]ptkkkkeAtAqtBtBqt。其中12,,,kAAA和12,,,kBBB为待定系数。2.2.2根据自由项形式与特征根情况设特解()prt1.自由项为常数E，0不是特征根，特解可设为B。2.自由项为常数E，0是k重特征根，特解可设为kBt。3.自由项为()Pt，0不是特征根，特解可设为()Qt。4.自由项为()Pt，0是k重特征根，特解可设为()ktQt。5.自由项为atEe，a不是特征根，特解可设为atBe。6.自由项为atEe，a是k重特征根，特解可设为kattBe。7.自由项为()atePt，a不是特征根，特解可设为()ateQt。8.自由项为()atePt，a是k重特征根，特解可设为()katteQt。9.自由项为cosEt或sinEt，j不是特征根，则特解可设为12cossinBtBt。10.自由项为cosEt或sinEt，j是k重特征根，则特解可设为12(cossin)ktBtBt。11.自由项为()cos()sinsPttPtt，j不是特征根，则特解可设为()cos()sinllQttGtt。12.自由项为()cos()sinsPttPtt，j是k重特征根，则特解可设为[()cos()sin]klltQttGtt。13.自由项为[()cos()sin]atsePttPtt，aj不是特征根，则特解可设为[()cos()sin]atlleQttGtt。14.自由项为[()cos()sin]atsePttPtt，aj是k重特征根，则特解可设为[()cos()sin]katllteQttGtt。注：这里，12,,BBB为待定系数；()Pt为次多项式；()sPt为s次多项式；max,ls；()Qt为次多项式；()lQt和()lGt为l次多项式。2.2.3求其始状态到初始条件的跳变1.目测法。适用于简单的二阶以下的线性常系数微分方程，且自由项中不含()t的各阶导数项，即不含冲激偶。2.冲激函数平衡法。适用于任何线性常系数微分方程。2.2.4当()et最高求导次数m不低于微分方程阶次n，求()ht和()gt1.对于冲激响应来说：除了零输入响应部分外，()ht还包含()t和其导数项，最高为mn次。2.对于阶跃响应来说：当nm时，()gt不含()t项；当nm时，()gt含有()t及其导数项，最高为1mn次。2.2.5用扩展的线性时不变特性求解1.特性一：零状态响应满足线性、时不变和微积分特性。2.特性二：零输入响应对其始状态满足线性关系。3.充分利用上述两条特性，列写方程组，最终求解问题。2.2.6利用卷积定义求卷积1.注意充分利用数轴来确定分界点，分区间求解。2.注意积分上下限的确定。2.2.7求解用算子符号表示的微分方程1.通常可先将算子方程转换为普通的微分方程求解。2.简单的算子方程可用类似求拉氏逆变换的方法求解。2.2.8理解和应用连续时间LTI系统特征函数为ste的性质1.若用T表示线性时不变系统，则[]ststTee。2.是与ste有关的T的特征值，()()stHshtedt。2.3考试范围1.根据电路图或仿真框图建立微分方程2.时域经典法求解微分方程，步骤如下：（1）列出特征方程，求出特征根；（2）根据特征根，设齐次解形式；（3）根据自由项和特征根情况，设特解形式；（4）将特解形式代入，求出待定系数，确定特解；（5）写出完全解形式，其中有n个齐次解系数待定；（6）确定初始条件；（7）利用初始条件确定待定系数；（8）写出完全解，注意注明0t。3.求起始状态、初始条件或跳变值4.求卷积（1）简单的卷积可用卷积性质求解。（2）稍复杂的卷积可用定义和画图法求解，关键在于确定各种情况下的积分区间。（3）了解复杂卷积的数值法求解原理和过程。（4）证明卷积的其他性质，如面积特性、移位特性和尺度变换特性等等。5.求零输入响应6.求零状态响应7.求冲激响应（1）已知系统框图，求总冲激响应。（2）已知微分方程，求冲激响应。（3）已知其他条件，求冲激响应（综合类题型）。8.利用冲激响应判断系统的记忆性、稳定性和因果性9.求阶跃响应10.利用线性时不变性质求解11.求解用算子符号表示的微分方程