第2节跨越从算术到代数

2跨越——从算术到代数“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”(algebra)可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”．著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．”用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别．字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式(algebraexpression)、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用．【例l】观察下列等式9—1=8．16—4=12。25—9=16．36—16=20。这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示出来：_____(2001年河南省中考题)思路点拨在观察给定的等式基础上，寻找数字特点，等式的共同特征，发现一般规律．【例2】某商品2000年比1999年涨价5％，2001年又比2000年涨价10％，2002年比2001年降价12％，则2002年比1999年()．A．涨价3％B．涨价1.64%C．涨价1．2％D．降价1.2％(2003年“TRULY信利杯”竞赛题)思路点拨设此商品1999年的价格为a元，把相应年份的价格用a的代数式表示，由计算作出判断．【例3】计算思路点拨直接计算复杂而繁难，注意括号内数式的联系，引入字母，将复杂的数值计算转化为简单的式的计算．【例4】有一张纸，第1次把它分割成4片，第2次把其中的1片分割成4片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片，如此进行下去，试问：(1)经5次分割后，共得到多少张纸片?(2)经n次分割后，共得到多少张纸片?(3)能否经若干次分割后共得到2003张纸片?为什么?(第17届江苏省竞赛题)思路点拨从简单情形人手，发现纸片数的特点是解本例的关键．【例5】在右图中有9个方格，要求每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等，问：右图上角的数是多少?思路点拨虽然要求的只是右上角的数，但是题目的条件还与其他的数有关，因此，需恰当地引进不同的字母表示数，以便充分运用已知条件．1．给出下列算式：12+1=1×2,22+2=2×3,32+3=3×4．观察上面一列算式，你能发现什么规律，用代数式子表示这个规律：____________________.(2001年福州市中考题)2．已知：2+32=22×241544,833,32×154……,若10＋210ba×ba(a、b为正整数)，则a+b=________2003年武汉市中考题)3．若(m+n)人完成一项工程需要m天，则n个人完成这项工程需要_______天．(假定每个人的工作效率相同)(第15届江苏省竞赛题)4．某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用90分钟，若往返都坐车，全部行程只需30分钟．如果往返都步行，那么，需要的时间是______．(河南省竞赛题)5．一项工程，甲建筑队单独承包需要a天完成，乙建筑队单独承包需要b天完成，现两队联合承包，完成这项工程需要()天．A．ba1B．ba11C．baabD．ab16．某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增加10％，三月份比二月份减少10％，那么三月份比一月份()．A．增加10％B．减少10％C．不增不减D．减少1%(2003年河南省中考题)7．如图．在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据。计算图中空白部分的面积，其面积是()．A.bc－ab＋ac＋c2B．ab一bc—ac＋c2。C．a2＋ab＋bc-acD．b2－bc＋a2－ab(2001年河北省中考题)8．为了绿化环境、美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S1S2的大小关系是()．AS1S2BS1∠S2CS1=S2D无法比较9．从1开始，连续的奇数相加，和的情况如下：1=121+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7+9=25=52(1)请你推测出，从1开始，n个连续的奇数相加，它们的和s的公式是什么?(2)计算：①1+3+5+7+9+11+13+15+17+19；②11+13+15+17+19+21+23+25．(3)已知l+3+5+…+(2n一1)=225，求整数n的值．10．从小明的家到学校，是一段长度为a的上坡路接着一段长度为b的下坡路(两段路的长度不等但坡度相同)．已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢20％．走下坡路时的速度比走平路时的速度快20％，又知小明上学途中花10分钟，放学途中花12分钟．(1)判断a与b的大小；(2)求a与b的比值．(第17届江苏省竞赛题)11．观察下列各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆点，每个图案中圆点的总数按此规律推断出S与n的关系式是________(2001年广西中考题)12．如图，将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形14．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：(1)第4个图案中有白色地面砖______块(2)第n个图案中有白色地面砖______块(2003年南昌市中考题)15．下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是()·A．1627384950B．2345678910C．3579111300D·4692581470(第17届江苏省竞赛题)16给去两列数:1.3.5.7.9,…2001和1.6.11.16.21.2001.同时出现在这两列数中的数的个数为()．A．199B．200C．201D202(2002年重庆市竞赛题)17．一种商品每件进价为a元，按进价增加25％定出售价，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还能盈利()．A0.125aB0.15aC0.25aD1.25a(2003年山东泰安市中考题)18．如果用a名同学在b小时内共搬运c块砖，那么c名同学以同样的速度搬运a块砖所需的小时数是()．。．A．bac22Babc2C2cabD22cba19．已知an+1=na111(n=1.2.3……2002),求当a1=1时，a1a2+a2a3+a3a4+…+a2002a2003的值．20．在一次数学竞赛中，组委会决定用NS公司的赞助款购买一批奖品，若以1台NS计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台NS计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买80份奖品·问这笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书，可各买多少?(2002年湖北省黄冈市竞赛题)21．将l～16这16个整数填人4×4的正方形表格中，使得每行、每列、每条对角线上四个数之和都相等，如右图所示，恰有8个小方格中填的数被一个淘气的小朋友擦掉了，请你将擦掉的这8个数设法恢复出来．22．阅读下列材料：十六大提出全面建设小康社会，国际上常用恩格尔系数(记作n”)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：根据上述材料，解答下列问题：某校初三学生对我市一个乡的农民家庭进行抽样调查．从1997年至2002年间，该乡每户家庭消费支出总额每年平均增加500元，其中食品消费支出总额每年平均增加200元，1997年该乡农民家庭平均刚达到温饱水平，已经该年每户家庭消费支出总额平均为8000元．求：(1)1997年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元?(2)设从1997年m年后该乡平均每户的恩格尔系数为nm(m为正整数)．请用m的代数式表示该乡平均每户当年的恩格尔系数nm并利用这个公式计算2003年该乡平均每户的恩格尔系数(百分号前保留整数)．(3)按这样的发展，该乡将于哪年开始进入小康家庭生活?该乡农民能否实现十六大提出的2020年我国全面进入小康社会的目标?(2003年桂林市中考题)