第2讲数列敛散性

第二章函数的敛散性与极限第一节数列的极限极限的概念是高等数学最基本的一个概念，以后将介绍的导数，定积分等重要的概念都是建立在极限概念之上的。先介绍数列（特殊函数）极限的概念。一、实例具体分析某一数列的视角有多个，但数列一般项的变化趋势无疑是最值得重视的。高中数学都是通过实例引入数列极限概念的。观察下列数列：(1)；，，：,13221}1{nnnn递增无限接近于1(2),1,31,21,1}1{nn：；递减无限接近于0（3）1111{}1,,,1,23nnnn：交错无限接近于0n无限增大时,以上数列与某一常数无限接近。(4);,1,1,1,1:})1{(n交错(5).2,,8,4,2:}2{nn无限增大（6）{2}:2,4,8,,2.nn无限递减n无限增大时以上数列无上述变化趋势。将数列的这一变化趋势用普通语言描述出来就是中学所介绍的极限的直观描述性定义二、概念1.定性定义：对于数列{nx}，如果存在一个常数a，当n无限增大时(记为n)，nx与常数a无限接近（就把常数a叫做数列{nx}的极限。记作nlimnx=a；有时也可记做：nxa（n）.这个定义无疑是正确的。但缺乏数学形式的精确的、量化的刻画，比如：什么叫n无限增大时nx与常数a无限接近？所谓“无限接近”即它们的距离可以任意的小，用数学语言说就是：axn可以任意的小。以数列(2)为例：就是当n无限增大时，{n1}的项与0的差的绝对值nnxn1010可以任意的小。比如，要使10010nx，即要10011n，只要100n；要使1001010nx，即要1001011n，只要10010n；容易看出:要使axn任意小，只要项数n充分大。我们引入表示任意小的数（应为正数），上面的表述改述为“011nxnn就有，即项数，只要”.即在大于1的这一项后面的所有项与0的差的绝对值都小于ε.可更简单地说成“只要项数”，如果再把满足不等式0nx的项数n更明确化,找到正整数N≥1，再让nN，我们再用宽泛的“存在”取代“找到”，上面的表述就变为：存在正整数N，当nN时，就有0nx.现在我们可以从对实例的分析抽象出一般数列极限的定量性质的定义了：2.定量定义设有数列{nx}与常数a，如果对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正整数N，使得nN时，恒有|nx-a|ε.则称数列{xn}以常数a为极限，记为nlimnx=a(或axn（n）).有极限的数列称为收敛数列；否则称为发散数列。注本定义中的“nN|na-a|ε”给出了数列极限概念的定量性质的表述。强调：10关于ε：定义中给定正数ε的任意小性，表达了数列的项nx与极限值a可以无限地任意接近，其小性是不言而喻的，关键是其任意性。由于要根据它求N，所以一旦给定，就应暂时视为是不变的，具有确定性。20关于N：（存在不唯一）定义中用“nN”刻画n足够大。N的存在性是保证|nx-a|ε的条件，是数列{nx}是否以常数a为极限关键。并且N不唯一，存在一个就有无穷多个。一般ε越小，N就越大，显然自然数N依赖于正数ε.也可以说N是ε的函数即()NN定义用逻辑符号可简洁地表述为：0ε，NnN时|nx-a|ε.01nxn，就有三、数列极限的几何解释把数列{nx}的项都摆在数轴上（图），于是，1x，2x，…，nx，…，都是数轴上的点。设有一个动点在数轴上跳动，动点的第一个位置在点1x，第二个位置在点x1，…，第n个位置在点xn，…。根据nnxlim=a的定义，再由|nx-a|εnxU),(εa，于是我们得到与之等价的说法：“这个动点跳动到第N次以后，就跳进了邻域U),(a之内，而且永远不跳出来了”。也就是说，它可以开始时在邻域的外面跳，也可以跳进这邻域再跳出来，重要的是“它能够跳进去而永远不出来”。更简捷的等价说法是：“这个动点在邻域U),(εa之外跳动的次数至多是有限次(N次)”，就是“数列{xn}中至多有有限项不属于点a的邻域U),(εa”。x1x3xN+1x4xNx2a-εaa+ε图1-8极限是一类运算。我们已经学过许多运算，如四则运算，各类函数也可以认为都是运算。以前学过的各类运算都是由有限个数产生一个数,数列极限则是由一系列无穷多个数产生一个数的运算。数列的一系列无穷多个数1x，2x，…，nx，…逐步逼近、近而再近、无限逼近一个常数——它的极限数值；这是一个无穷的渐变过程。经过一系列无穷多次量的渐变，达到了质的突变，得到极限数值。反过来，用极限这一个数，可以近似代替这一系列无穷多个数中除去有限个之后的所有的数，其近似程度可以达到任意精确的范围（即ε0）之内。所以，可以说是用一个数——极限数值，把握住了一系列无限多个数中除去有限个之后的所有的数，高度实现了由简驭繁的功效。极限问题，是有限与无限、量变与质变的辨证统一。四、用定义证明数列极限例题例1试证明数列,1,,43,34,21,21nnn的极限为1.证∵|nx-a|=|nnn1)1(-1|=n1.ε0,要使|nx-1|ε,只要n1ε，即n1，取自然数N为1的整数部，即取N=[1]，则当nN时，|nnn1)1(-1|ε.∴nnnn1)1(lim.注用数列极限的定义来证明某个数列{na}以某个常数a为极限时（或说用数列极限定义来验证已知数列和已知常数的极限关系），关键是证明N的存在性，找到了就证明了存在。通常是从要满足的不等式|nx-a|ε入手,找到n与的关系,再由此取定一个N，从而说明了N的存在性。这种证明采用的是分析的方法，极为严谨。例2证明0)1()1(lim2nnn.证∵axn=0)1()1(2nn=nnn111)1(12,故ε0,要使axn，只要n1，即n1，取N=[1]，则Nn时，0)1()1(2nnε.这就是所要证明的。注存在一个N就存在无穷多个,而我们只需要找一个就够用。找那个呢？当然找那个最好找的。其中，放大不等式nn1)1(12是简化证明过程的关键,这使得N的选取比较容易了。例3恒取常值-7的数列（即na≡-7）以常数a=-7为极限。证∵ε0,不等式|nx-a|≡0ε对于任意自然数恒成立，所以，不论怎样选取自然数N（例如取N=1），则nN|na-a|ε.由例3可以得出一般性结论：恒取常值的数列，以这个常值为极限。例4设|q|1，证明0limnnq.证q=0时，结论显然成立。以下设0|q|1.∵nnnqqax0故ε0,要使axn，只要nq，两边取自然对数，得lnlnqn，即nqlnln，取N=[1]，取qNlnln，则Nn，0nqε，∴0limnnq.作用？更好！五、性质1、极限的唯一性数列}{nx不能收敛与两个不同的极限证（反证法）假设同时有nxa及nxb，且ab。取2ba。因为limnxxa，故存在正整数1N，使得对于1nN的一切nx，不等式2nbaxa（1）都成立。同理，因为limnxxb，故存在正整数2N，使得对于2nN的一切nx，不等式2nbaxb（2）都成立。取12max{,}NNN，则当nN时，（1）、（2）会同时成立。但由（1）有2nabx，由（2）有2nabx，矛盾。2、收敛数列的有界性若数列}{nx收敛，则}{nx是有界数列。（或}{nx一定有界）有界数列}{nx如果正数M，n，恒有Mxn.分析求证数列{nx}有界，即证明M，使得n|nx|M.要从数列极限定义入手，寻找合适的常数M.证设nnxlim=a，则对于=1，N使得nN|nx–a|=1，由aaaxaaxxnnn1,可见nN|nx||a|+1。令M=max{1|||,|,|,||,|21axxxN},则n|nx|M.所以数列{nx}有界。其逆否命题？——定理的逆否命题：无界数列必发散。其否命题？——有界数列未必收敛（即定理1的逆命题不成立），例如通项公式是xn=(--1)n的数列，是发散的数列，但它是有界的。可见收敛数列只是有界数列中的一部分（图1—9），即数列收敛是其有界的充分条件；而有界性仅是数列收敛的的必要条件。图1-9有界数列收敛数列3、收敛数列的保号性若limnxxa,与limnxyb，且ab，则,,NNnN，nny有x。证法：df，,,NNnN有,22nnababxy4、收敛数列与其子数列间的关系：若数列}{nx收敛（于a），则}{nx的任一子数列也收敛（于a）。5、运算性质--四则运算若limnxxa,与limnxyb则：1）.lim()limlimnnnnxxxxyxyab2）lim(.)lim.lim.nnnnxxxxyxyab3）limlimlimnnxxnnnxxxayyb，且0b.（问题：若0,limnxnxby存在否？）六、数列收敛的判别法1.定义法2.收敛数列与其子数列间的关系判别法3.准则1.（两边夹定理）（夹逼定理）若数列,,nnnxyz满足下列条件：1）,(1,2,3,...)nnnyxzn2）lim,limnnxxyaza则数列nx的极限存在，且limnxxa证df，4.准则2—单调有界数列必收敛重要极限1lim(1),nxen2.718281828459045...e设nx=1(1)nn，证明}{nx单调增加有界首先，由二项式定理，有nx=1(1)nn=231(1)1(1)(2)111!2!3!nnnnnnnnn(1)(1)1!nnnnnnn1111211(1)(1)(1)2!3!nnn1121(1)(1)(1)!nnnnn类似的，11111211(1)(1)(1)2!13!11nxnnn1121(1)(1)(1)!111nnnnn112(1)(1)(1)(1)!111nnnnn比较的展开式，可以看到除前两项外，的每一项都小于的对应项，并且还多了最后一项，其值大于0，因此。数列nx单调增加。其次，将nx的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替，得nx〈1+1+21111111112!3!!222nn11112131212nn〈3说明数列nx是有界的。根据极限存在准则2，数列nx极限存在。设为e5.柯西收敛准则数列}{nx收敛0,0,,,nmNmNnNxx证明：必要性假设limnxxa。则02，NnN时|nx-a|2.同理mN时|mx-a|2.,()()22nmnmnmmNnNxxxaxaxaxa.充分性（略）