第2讲Gauss消元法

1§1.2Gauss消元法一般的n元线性方程组：)(22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa未知数：nxxx,,,21系数：),,2,1,,2,1(njmiaji；常数项：mbbb,,,21一个解：n元有序数组nccc,,,21，令,,,,2211nncxcxcx使（*）的所有方程变为恒等式。解集合：（*）的全部解的集合。不相容线性方程组：解集合为空集。一般解（通解）：解集合中全部元素的通项表达式。2具体解（特解）：解集合中一个特定元素。解的存在性：解集合是否为空集。解的唯一性：非空的解集合是否只有一个元素。线性方程组同解：解集合相同。非齐次线性方程组：mbbb,,,21不全为零齐次线性方程组：mbbb,,,21全为零一般的n元齐次线性方程组：)(000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa零解：所有未知数均取零的解非零解：未知数不全取零的解对齐次线性方程组，有非零解解不唯一。3线性方程组欧氏空间线性空间第三章向量空间第二章线性相关性维向量第五章对角化第一章运算矩阵解的结构判别与求解一般方程组第四章行列式特殊方程组)()()()()(n解析几何线性变换对称矩阵第六章二次型)()(22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa令mmnmmnnmnmmnnbaaabaaabaaaAaaaaaaaaaA21222221111211~212222111211,4称A为系数矩阵，称~A为增广矩阵。线性方程组（*）被其增广矩阵~A唯一确定再令mnbbbbxxxX2121,则)(可表为bAX称之为线性方程组（*）的矩阵表达式。结论：数组),,,(21nccc是)(的一个解的充分必要条件是bccAn1例已知线性方程组53332221212121xxxxxx，令321,,33221121bxxXA，则上述方程组可表为bAX。取数组（1，-1）代入上式得bA11，故1,121xx是一个解。同理可证，cxcx21,都是解。取数组（1，2）代入上式得bA21，故2,121xx不是解。同理可证，)(,21dcdxcx都不是解。例解线性方程组6)4(28)3(3443)2(2422)1(2622432143214321421xxxxxxxxxxxxxxx解21)1(：）（）（）（4283344322422)1(13432143214321421xxxxxxxxxxxxxxx）（）（）），（（）（）），（（）（）（411331221：)4(352)3(0542)2(022)1(13432432432421xxxxxxxxxxxx)4()2()2(),3()2()2(：)4(393)3(0)2(022)1(13434432421xxxxxxxxx7)3()4(：039302213443432421xxxxxxxxx。由最后这个阶梯形方程组通过依次回代，解得0,1,2,14321xxxx。▌说明：（1）求解线性方程组有两个过程：消元与回代（2）消元过程需对方程做如下处理：（i）用一个非零数乘某一个方程（ii）一个方程的倍数加到另一个方程上（iii）互换两个方程的位置称上述三种处理为线性方程组的初等变换。（3）消元的目的就是把原方程组化为阶梯形方程组定理方程组的初等变换把一个线性方程组变成另一个同解的线性方程组。增广矩阵的每行对应方程组中的一个方程，故方程组的初等变换等同于对增广矩阵的行作下列8变换：（1）用一个非零数乘某一行的全部元素（2）一行的倍数加到另一行上（3）互换两行的位置称上述对矩阵行的处理为矩阵的初等行变换。方程组的初等变换增广矩阵的初等行变换此外，阶梯形方程组的增广矩阵也具有相同的形式：（1）零行（所有元素均为零的行）全部在下方，非零行（至少有一个元素不为零的行）全部在上方（2）非零行的首非零元（也称主元，即行中第一个不为零的元素）随着行标的增大其列标也严格增大称上述形式的矩阵为阶梯形矩阵。增广矩阵为阶梯形矩阵方程组为阶梯形方程组例重复前一例解901000393000221013011393000100002210130113512005420022101301128111344132421213011281113441324212260224323241213141)2()2()2()3()1(21~RRRRRRRRRRRRRA阶梯形矩阵对应的线性方程组为039302213443432421xxxxxxxxx，由此解出0,1,2,14321xxxx。▌10定理任一矩阵可通过有限次初等行变换化为阶梯形矩阵。Gauss消元法：线性方程组→增广矩阵~A方程组的↓初等变换矩阵的↓初等行变换阶梯形方程组←阶梯形矩阵↓求解例解线性方程组43322221321321321xxxxxxxxx。解112110111011113332222111111213)1()2(~RRRRA10001110111123)1(RR对应阶梯形方程组为101132321xxxxx。因为无论321,,xxx取何值，都不会使第三个方程成立，所以此方程组无解，亦即原方程组无解。▌称形如“零=非零数”的方程为矛盾方程。例解方程组283543324222135432154321543215321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx。12解000000131000022100130111281111354133242122130111~行A对应方程组为)1(1302213545435321xxxxxxxxx)2(312231545435231xxxxxxxxx令5522,kxkx，则由)2(可唯一地确定431,,xxx(3)31,42,715453521kxkxkkx13由于55545322521,31,42,,71kxkxkxkxkkx满足)2(，故也满足)1(，即它们构成原方程组的解。因为52,kk可任意取值，故由（3）式可知原方程组有无穷多个解。反之，任取原方程组的一个解5544332211,,,,cxcxcxcxcx则它们也是)1(的一个解，故130221545435321ccccccccc整理后得545435231312231ccccccccc解出14545352131,42,71ccccccc，即这个解可由令5522,cxcx从（3）式得到，故（3）式给出原方程组的全部解，即是一般解。因52,xx的值是任意取定的，故称之为自由未知数。下面重新给出上例的求解过程：例解方程组283543324222135432154321543215321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx。解000000131000022100130111281111354133242122130111~行A对应方程组为151302213545435321xxxxxxxxx分离自由未知数312231545435231xxxxxxxxx所以一般解为5453521314271xxxxxxx（52,xx为自由未知数）。▌结论：就阶梯形方程组而言.1有矛盾方程：无解；.2无矛盾方程：有解；)1(方程个数=未知数个数：解唯一；)2(方程个数未知数个数：解无穷多：例解齐次线性方程组160433203220432143214321xxxxxxxxxxxx。解432432143243212020000021101111433232211111xxxxxxxxxxxxxxA行所以，一般解为432412xxxxx（43,xx为自由未知数）。▌注：（1）通常总是取非主元未知数为自由未知数(系数不是阶梯形矩阵主元的未知数)；（2）阶梯形方程组不含“0=0”的方程。（3）对齐次方程组消元时，只需对系数矩阵进行初等行变换17定理若齐次线性方程组中方程的个数少于未知数的个数，则其必有非零解。例讨论a取值与解的关系23213213211aaxxxaxaxxxxax。解3222)1)22~11101101111111111111111121331aaaaaaaaaaaaaaaaaaaARRRaRRR（（3222212001101123aaaaaaaaaaaRR323223223211)2()1()1(aaaxaaaaxaxaaaxxx18.11a且2a无矛盾方程且方程个数=未知数个数=3方程组有且只有一个解。.21a无矛盾方程且方程个数=1未知数个数=3有无穷多个解。.32a有矛盾方程无解。▌矩阵的初等行变换可把阶梯形矩阵化为更简单的形式，例如00000013100002010013011100000013100002210013011132)2(RR19~00000013100002010013001121BRR阶梯形矩阵~B有如下特点：主元为1并且主元所在列的其它元素全为零。称这样的阶梯形矩阵为行简化阶梯形矩阵或标准阶梯形矩阵。假设某一四元线性方程组以~B为其增广矩阵，则其形式为1302135453521xxxxxxx由此立得其一般解13),(213