第2讲两条直线的位置关系

第2讲两条直线的位置关系、点到直线的距离【2013年高考会这样考】1．考查用解方程组的方法求两直线的交点坐标．2．考查两直线的平行与垂直．3．考查两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式．【复习指导】1．对两条直线的位置关系，求解时要注意斜率不存在的情况，注意平行、垂直时直线方程系数的关系．2．熟记距离公式，如两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离．基础梳理1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2，特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．(2)两条直线垂直①如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1.②如果l1、l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为垂直．2．两直线相交交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组{A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．3．三种距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22.特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2.(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝|C1－C2|A2＋B2.4．对称问题(1)P(x0，y0)关于定点A(a，b)的对称点为(2a－x0,2b－y0)．(2)点P(x，y)关于l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的对称点为P′(x′，y′)则A×x＋x′2＋B×y＋y′2＋C＝y′－yx′－x×－AB＝－1.一条规律与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax＋By＋m＝0；垂直的直线方程设为Bx－Ay＋n＝0.两个防范(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．(2)在运用两平行直线间的距离公式d＝|C1－C2|A2＋B2时，一定要注意将两方程中的x，y系数化为分别相等．三种对称(1)点关于点的对称点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为P′(2a－x0,2b－y0)．(2)点关于直线的对称设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点P′(x′，y′)，则有y′－y0x′－x0·k＝－1，y′＋y02＝k·x′＋x02＋b，可求出x′，y′.(3)直线关于直线的对称①若已知直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上，然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点及点P2的直线就是l2；②若已知直线l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1分别到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l1的对称直线．双基自测1．(人教B版教材习题改编)直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为()．A．－3B．－43C．2D．3解析由－a2×23＝－1，得：a＝3.答案D2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()．A．1B.3C．2D.5解析d＝|－5|1＋22＝5.答案D3．(2012·银川月考)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()．A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0解析∵所求直线与直线x－2y－2＝0平行，∴所求直线斜率k＝12，排除C、D.又直线过点(1,0)，排除B，故选A.答案A4．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是()．A．(－a－1，－b－1)B．(－b－1，－a－1)C．(－a，－b)D．(－b，－a)解析设对称点为(x′，y′)，则y′－bx′－a×－1＝－1，x′＋a2＋y′＋b2＋1＝0，解得：x′＝－b－1，y′＝－a－1.答案B5．平行线l1：3x－2y－5＝0与l2：6x－4y＋3＝0之间的距离为________．解析直线l2变为：3x－2y＋32＝0，由平行线间的距离公式得：d＝－5－3232＋22＝132.答案132考向一两条直线平行与垂直的判定及应用【例1】►(1)已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则实数a＝________.(2)“ab＝4”是直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的()．A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[审题视点](1)利用k1·k2＝－1解题．(2)抓住ab＝4能否得到两直线平行，反之两直线平行能否一定得ab＝4.解析(1)由题意知(a＋2)a＝－1，所以a2＋2a＋1＝0，则a＝－1.(2)直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的充要条件是－2a＝－b2且－1a≠－1，即ab＝4且a≠1，则“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的必要而不充分条件．答案(1)－1(2)C(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．(2)①若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.②设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则：l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.(3)注意转化与化归思想的应用．【训练1】已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得：(1)l1与l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1，l2重合．解(1)由已知1×3≠m(m－2)，即m2－2m－3≠0，解得m≠－1且m≠3.故当m≠－1且m≠3时，l1与l2相交．(2)当1·(m－2)＋m·3＝0，即m＝12时，l1⊥l2.(3)当1×3＝m(m－2)且1×2m≠6×(m－2)或m×2m≠3×6，即m＝－1时，l1∥l2.(4)当1×3＝m(m－2)且1×2m＝6×(m－2)，即m＝3时，l1与l2重合．考向二两直线的交点【例2】►求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．[审题视点]可先求出l1与l2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解．解法一先解方程组{3x＋2y－1＝0，x＋2y＋1＝0，得l1、l2的交点坐标为(－1,2)，再由l3的斜率35求出l的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l：y－2＝－53(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.法二由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1、l2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，故l的方程为5x＋3y－1＝0.法三由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是：Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.【训练2】直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程．解法一设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(－2－x0,4－y0)，并且满足{4x0＋y0＋3＝0，－2－x0－54－y0－5＝0，即{4x0＋y0＋3＝0，x0－5y0＋31＝0，解得{x0＝－2，y0＝5，因此直线l的方程为y－25－2＝x－－1－2－－1，即3x＋y＋1＝0.法二设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由{kx－y＋k＋2＝0，x＋y＋3＝0，得x＝－k－5k＋4.由{kx－y＋k＋2＝0，x－5y－5＝0，得x＝－5k－155k－3.则－k－5k＋4＋－5k－155k－3＝－2，解得k＝－3.因此所求直线方程为y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0.法三两直线l1和l2的方程为(4x＋y＋3)(3x－5y－5)＝0，①将上述方程中(x，y)换成(－2－x,4－y)，整理可得l1与l2关于(－1,2)对称图形的方程：(4x＋y＋1)(3x－5y＋31)＝0.②①－②整理得3x＋y＋1＝0.考向三距离公式的应用【例3】►(2011·北京东城模拟)若O(0,0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________.[审题视点]由点到直线的距离公式列出等式求a.解析由题意，得6a2＋a4＝|4a－a2＋6|a2＋a4，即4a－a2＋6＝±6，解之得a＝0或－2或4或6.检验得a＝0不合题意，所以a＝－2或4或6.答案－2或4或6用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式，还要注意公式中分子含有绝对值的符号，分母含有根式的符号．而求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离．【训练3】已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为5，求直线l1的方程．解∵l1∥l2，∴m2＝8m≠n－1，∴{m＝4，n≠－2或{m＝－4，n≠2.(1)当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，把l2的方程写成4x＋8y－2＝0.∴|n＋2|16＋64＝5，解得n＝－22或n＝18.所以，所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.(2)当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，l2的方程为2x－4y－1＝0，∴|－n＋2|16＋64＝5，解得n＝－18或n＝22.所以，所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.考向四对称问题【例4】►光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．[审题视点]设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则直线A′D′经过点B与C.解作出草图，如图所示．设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为y－66＋4＝x－11＋2，即10x－3y＋8＝0.解决这类对称问题要抓住两条：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．【训练4】已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是()．A．x－2y＋1＝0B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋2y－1＝0解析l1与l2关于l对称，则l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设其关于l的对称点为(x，y)，则