第2讲函数与映射的概念复习

1第2讲函数与映射的概念★知识梳理1．函数的概念(1)函数的定义：设BA、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为Axxfy),((2)函数的定义域、值域在函数Axxfy),(中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做)(xfy的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合Axxf)(称为函数)(xfy的值域。(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则2．映射的概念:设BA、是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为BAf:★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数)(xfy的定义域为][ba，，求)2(xfy的定义域.问题2：已知)2(xfy的定义域是][ba，，求函数)(xfy的定义域.1．求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos2sin2xxy，可变为2)1(cos4cos2sin22xxxy解决.（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log221xxy就是利用函数uy21log和322xxu的值域来求.（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数22122xxxy的值域由22122xxxy得012)1(22yxyyx，若0y，则得21x，所以0y是函数值域中的一个值；若0y，则由0)12(4)]1(2[2yyy得021332133yy且，故所求值域是]2133,2133[.2（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数1cos3cos2xxy的值域，因为1cos521cos3cos2xxxy，而]2,0(1cosx，所以]25,(1cos5x，故]21,(y（5）利用基本不等式求值域：如求函数432xxy的值域当0x时，0y；当0x时，xxy43，若0x，则4424xxxx若0x，则4)4()(2)4(4xxxxxx，从而得所求值域是]43,43[（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数])2,1[(2224xxxy的值域因)14(22823xxxxy，故函数])2,1[(2224xxxy在)21,1(上递减、在)0,21(上递增、在)21,0(上递减、在)2,21(上递增，从而可得所求值域为]30,815[（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。★热点考点题型探析考点一：判断两函数是否为同一个函数[例1]试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）2)(xxf，33)(xxg；（2）xxxf)(，;01,01)(xxxg（3）1212)(nnxxf，1212)()(nnxxg（n∈N*）；（4）xxf)(1x，xxxg2)(；（5）12)(2xxxf，12)(2tttg.[新题导练]1．(2009·佛山)下列函数中与函数xy相同的是()A.y=(x)2;B.y=33t;C.y=2x;D.y=xx22．(09年重庆南开中学)与函数)12lg(1.0xy的图象相同的函数是（）A.)21(12xxy；B.121xy；C.)21(121xxy；D.|121|xy考点二：求函数的定义域、值域题型1：求有解析式的函数的定义域3[例2].（08年湖北）函数)(xf)4323ln(122xxxxx的定义域为()A.),2[)4,(;B.)1,0()0,4(；C.]1,0()0,4[,;D.)1,0()0,4[,题型2：求抽象函数的定义域[例3]（2006·湖北）设xxxf22lg，则xfxf22的定义域为（）A.4,00,4；B.4,11,4；C.2,11,2；D.4,22,4题型3；求函数的值域[例4]已知函数)(6242Raaaxxy，若0y恒成立，求32)(aaaf的值域.3.（2008安徽文、理）函数221()log(1)xfxx的定义域为．4．定义在R上的函数()yfx的值域为[,]ab，则函数(1)yfx的值域为()A．[1,1]ab；B．[,]ab；C．[1,1]ab；D．无法确定5．(2008江西改)若函数()yfx的定义域是]3,1[，则函数(2)()1fxgxx的定义域是6．(2008江西理改)若函数()yfx的值域是]3,32[，则函数1()Fxfxfx的值域是考点三：映射的概念[例5]（06陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文,,,abcd对应密文2,2,23,4.abbccdd例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（）A．7,6,1,4；B．6,4,1,7；C．4,6,1,7；D．1,6,4,77．集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立从A到B的映射个数是__________，从B到A的映射个数是__________.备选例题：（03年上海）已知集合M是满足下列性质的函数)(xf的全体：存在非零常数T，对任意Rx，有)()(xTfTxf成立。（1）函数xxf)(是否属于集合M？说明理由；（2）设函数)1,0()(aaaxfx的图象与xy的图象有公共点，证明：Maxfx)(4★抢分频道基础巩固训练：1．(2007·广东改编)已知函数xxf11)(的定义域为N，)1ln()(xxg的定义域为M，则NM2．函数)23(log31xy的定义域是3．函数1212xxy的值域是4．（广东从化中学09届月考）从集合A到B的映射中,下列说法正确的是()A．B中某一元素b的原象可能不只一个；B．A中某一元素a的象可能不只一个C．A中两个不同元素的象必不相同；D．B中两个不同元素的原象可能相同5．下列对应法则f中，构成从集合A到集合B的映射是（）A．2||:,},0|{xyxfRBxxAB．2:},4{},2,0,2{xyxfBAC．21:},0|{,xyxfyyBRAD．2:},1,0{},2,0{xyxfBA6．（09年执信中学）若函数234yxx的定义域为[0,]m,值域为25[4]4，，则m的取值范围是（）A．4,0；B．3[3]2，；C．3[]2，4；D．3[2，）7．（05天津改）设函数xxxf22ln)(，则函数)1()2()(xfxfxg的定义域是.8．设函数21)(2xxxf的定义域是]1,[nn(n是正整数)，那么)(xf的值域中共有个整数.