第30讲空间中的垂直关系【理科】

1第三十讲空间中的垂直关系【学习目标】1、灵活应用线面、面面垂直的判定、性质定理证明空间中的垂直关系。2、能够利用线面、面面垂直的判定、性质定理寻找空间角。【基础知识回顾】1.垂直直线（1）定义:。（2）判定方法：。2.直线与平面垂直（1）定义：。（2）判定定理：。推论1。（3）性质①推论2。②如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面的。3.平面与平面垂直（1）定义。（2）判定定理：。（3）性质：①性质定理：。②lPPA③lPPAA垂足为4、三垂线定理（1）三垂线定理。（2）三垂线定理的逆定理。5、空间角（1）直线和平面所成的角①定义。②三余弦定理。③最小角定理。④直线和平面所成的角的范围。（2）二面角的平面角①定义。②二面角平面角的范围。2③作二面角的平面角的常用方法。6、点到平面的距离的定义。7、特殊点在平面上的射影(1)△ABC所在平面外一点P在平面ABC内射影为O①若PA=PB=PC,则O为△ABC的。②若P到△ABC三边距离相等，到则O为△ABC的。③若PA、PB、PC两两垂直,则O为△ABC的。(2)∠ACB所在平面外一点P在平面ABC内射影为O①若∠PCA=∠PCB，则O在∠ACB的。②若P到∠ACB两边距离相等，则O在∠ACB的。8、误区警示（1）易将aabb∥，aa∥及∥∥∥，错误迁移到acabbc∥，∥及aabb∥∥∥（2）,,,abacbca是错误的，b与c相交的条件不能少。（3）两平面垂直时，从一个平面内一点向另一个平面作垂线，则垂足必落在交线上。【基础知识自测】1、平面的斜线AB交于点B,过定点A的动直线与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是（）A、一条直线B、一个圆C、一个椭圆D、双曲线2、已知m、n是两条不重合的直线，、、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中真命题的是（）①若,,mm则∥②若,,则//③若,,mnmn∥，则//④若m、n是异面直线，,,,mmnn∥∥，则//A、①②B、①③C、③④D、①④3、对于直线ml、和平面、，的一个充分条件是（）A、,,mlml∥∥B、,,mlmlC、,,mlml∥D、,,mllm∥4、（2010全国）正方体1111ABCDABCD中，1BB与平面1ACD所成角的余弦值为（）3A、23B、33C、23D、635、已知正三棱锥S-ABC棱长都为1，则其侧面与底面的夹角为。6、“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“l”的条件。7、四边形ABCD的四条边都相等，它的对角线ＡC与BD的位置关系是。8、已知△ABC,∠BAC=090，P为平面ABC外任一点，且PA=PB=PC则平面PBC与平面ABC的关系是。【典型例题】题型一位置关系的判定例1若两不重合的直线m、n和两个不同的平面、，下列四个命题中，正确的是（）A、若,,mnmnB、,,mnmn∥∥C、,,mnmn∥D、若，,mnmn题型二线面垂直的判定与性质例2（2010.北京理）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=2,CE=EF=1.(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求证:CF⊥平面BDE；（3）求二面角A-BE-D的大小。跟踪练习：如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，Ｆ为ＰＢ的中点，求证：（１）DF⊥AP（2）在线段AD上是否存在点G使4GF⊥平面PBC？若存在，说明G点的位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由。题型三面面垂直的判定与性质例3已知正三棱柱111ABCABC，若过1AB与1BC平行的平面交上底面111ABC的边11AC于点D。（1）确定D的位置，并证明你的结论；（2）证明：平面1ABD⊥平面1AAD跟踪练习：如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的一点。（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；（2）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离。第三十讲《空间中的垂直关系》课后定时达标训练5命题人：乔玉兰审核人：董茂庆使用时间：2010.12.14一、选择题（每小题5分,共45分）1、1.（2007安徽）设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“l”是lm且“ln”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2.（2010山东理）在空间，下列命题正确的是（）A、平行直线的平行投影重合B、平行于同一直线的两个平面平行C、垂直于同一平面的两个平面平行D、垂直于同一平面的两条直线平行3.(2008年全国高考题)已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()A.13B.23C.33D.234.设直线l与直二面角的两个面α、β所成的角分别为θ1和θ2，则()A．0θ1＋θ2π2B．0≤θ1＋θ2≤π2C．0θ1＋θ2≤π2D．θ1＋θ2π25、如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面互相垂直，则这两个二面角的大小是()A．相等B．互补C．相等或互补D．无法确定6、如图所示，过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°7.(2009年浙江)设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β8.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部9、(2008年四川高考题)设直线l⊂平面α，过平面α外一点A且与l、α都成30°角的直线有且只有()A．1条B．2条C．3条D．4条二、填空题（每小题5分，共20分）10、(2008年四川高考)已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦6值为33，则该四棱柱的体积等于________．11、已知点O在二面角α—AB—β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°.若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α—AB—β的大小是________．12、在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的大小是________(结果用反三角函数值表示)13、（2009年江苏，12)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号________．(写出所有真命题的序号)三、解答题（共35分）14、（11分）如图，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD,∠CBA=∠CBD=0120，求（1）AD所在直线和平面BCD所成角的大小；（2）AD所在直线与直线BC所成角的大小；（3）二面角A-BD-C大小。15、（12分）（2010.安徽理）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF7∥AB，EF⊥FB，AB=2EF，∠BFC=090，BF=FG，H为BC的中点，（1）求证：FH∥平面BDE（2）求证：AC⊥平面EBD；（3）求二面角B-DE-C的大小16、（12分）(2009年天津)如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，8DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2.(1)证明PA∥平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD；(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．第三十讲《空间中的垂直关系》当堂检测9班级姓名成绩1.（5分）(2009年广东卷文)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④2.（5分）(2009山东卷文)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“m”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．（20分）如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：（1）DE＝DA；（2）平面BDM⊥平面ECA；（3）平面DEA⊥平面ECA。