第33课时函数模型教师版

第三十三课时函数模型及其应用(1)【学习导航】知识网络学习要求1．了解解实际应用题的一般步骤；2．初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法；3．渗透建模思想，初步具有建模的能力.自学评价1．数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．2.数学建模就是把实际问题加以抽象概括建立相应的数学模型的过程，是数学地解决问题的关键．3.实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察定义域．【精典范例】例1．写出等腰三角形顶角y（单位：度）与底角x的函数关系．【解】1802yx090x点评:函数的定义域是函数关系的重要组成部分．实际问题中的函数的定义域，不仅要使函数表达式有意义，而且要使实际问题有意义．例2．某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元,生产每台计算机的可变成本为3000元,每台计算机的售价为5000元.分别写出总成本C(万元)、单位成本P（万元）、销售收入R（万元）以及利润L（万元）关于总产量x（台）的函数关系式.分析：销售利润Lx销售收入Rx成本Cx,其中成本Cx(固定成本可变成本).【解】总成本与总产量的关系为2000.3,CxxN.单位成本与总产量的关系为2000.3,PxNx.销售收入与总产量的关系为0.5,RxxN.利润与总产量的关系为0.2200,LRCxxN．例3．大气温度()yC随着离开地面的高度()xkm增大而降低，到上空11km为止，大约每上升1km，气温降低6C，而在更高的上空气温却几乎没变（设地面温度为22C）．求：（1）y与x的函数关系式；（2）3.5xkm以及12xkm处的气温．【解】（1）由题意，当011x时，226yx，∴当11x时，2261144y，从而当11x时，44y．综上，所求函数关系为226,0,1144,(11,)xxyx；（2）由（1）知，3.5xkm处的气温为2263.51yC，12xkm处的气温为44C．建立数学模型得出数学结果解决实际问题实际问题听课随笔点评:由于自变量在不同的范围中函数的表达式不同，因此本例第1小题得到的是关于自变量的分段函数；第2小题是已知自变量的值，求函数值的问题．追踪训练一1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企业生产某种产品的数量为x件时的成本函数是21200102Cxxx（元），若每售出一件这种商品的收入是200元，那么生产并销售这种商品的数量是200件时，该企业所得的利润可达到17800元.2．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线.（OA为线段，AB为某二次函数图象的一部分，O为原点）.（1）写出服药后y与t之间的函数关系式()yfx；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于49微克时，对治疗有效，求服药一次治疗疾病有效的时间.解：（1）由已知得24011(5),154ttytt（2）当01t时，449t，得119t；当15t时，214(5)49t，得1911,33tt或，∴1113t∴11193t，∴11132399，因此服药一次治疗疾病有效的时间约为3.5小时.【选修延伸】一、函数与图象高考热点1:（2002年高考上海文，理16）一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图所示，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（）A.气温最高时，用电量最多B.气温最低时，用电量最少C.当气温大于某一值听课随笔时，用电量随气温增高而增加D.当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加答案：C分析：该题考查对图表的识别和理解能力.【解】经比较可发现，2月份用电量最多，而2月份气温明显不是最高.因此A项错误.同理可判断出B项错误.由5、6、7三个月的气温和用电量可得出C项正确.思维点拔：数学应用题的一般求解程序（1）审题：弄清题目意，分清条件和结论，理顺数量关系；（2）建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；（3）解模：求解数学模型，得到数学结论；（4）结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意下结论．追踪训练二1.有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数关系式，并求出它的定义域．分析：关键是用半径R与腰长x表示上底，由对称性：2CDABAE，故只要求出AE．解：设腰长ADBCx，作DEAB垂足为E，连结BD，则90ADB，∴RtADE∽RtABD，∴2ADAEAB，22xAER，∴222xCDABAERR∴周长2222(2)24xyRxRRxxRR，∵ABCD是圆内接梯形∴0,0,0ADAECD，即220020xxRxRR，解得02xR，即函数y的定义域为02xxR本节学习疑点：如何根据题意建立恰当的函数模型来解决实际问题.【师生互动】学生质疑教师释疑听课随笔