第3章刚体转动

62第3章刚体的转动学习指导一、基本要求1.理解描述刚体定轴转动的物理量，明确角量和线量的关系。2.理解力矩﹑转动惯量和角动量的概念，掌握其计算方法。3.熟练掌握刚体定轴转动定律，并能应用它求解定轴转动刚体和质点联动的问题。时的角动量守恒定律。4.掌握力矩的功、刚体的转动动能、重力势能的计算方法，能正确的应用转动动能定理和机械能守恒定律。二、知识框架图刚体的一般运动(可看做由平动和转动的合成)刚体的平动(刚体内各点的运动状态相同)刚体力学刚体的定轴转动定轴转动中的功能关系刚体定轴转动的动力学规律:1.力矩：MrF力矩是改变刚体转动状态的外因。刚体绕定轴转动时，力矩可表示为代数量。2.转动惯量：2dJrm转动惯量是物体转动惯性大小的量度。其值取决于物体的形状，质量分布和轴的位置。3.冲量矩：21dttMt4.角动量：LJ5.转动定律：ddJMJt6.角动量定理：2121dttMtLL7.角动量守恒定律：若0iM外则刚体对这一定轴的角动量保持不变。即LJ=常量角动量守恒定律不仅适用于宏观物体，也适用于微观粒子的运动过程，是自然界的一个普遍的规律。定轴转动的运动规律表征刚体定轴转动的物理量:角位移:21=角速度:ddt=角加速度:22ddddtt=匀变速转动公式:0t2012tt角量与线量的关系:dds=RtvtaR2naR有关物理量:转动动能:212kE=J力矩的功:21dWM刚体的重力势能:pcEmgh力学规律刚体转动的动能定理22211122W=JJ对于包括有刚体的系统,如果在运动过程中,只有保守力做功,则该系统的机械能守恒。kpEEE常量63三、知识要点1.重点（1）理解和掌握力矩、转动惯量、转动动能和角动量等有关转动的概念。（2）熟练掌握刚体定轴转动定律和角动量守恒定律及其应用。2.难点（1）对角动量概念的理解。（2）当系统中既有刚体又有质点时，如何正确应用有关定理守恒定律解决此类综合性力学问题的方法。四、基本概念及规律1．刚体的基本运动及其描述（1）刚体定轴转动：指刚体内所有的质元都绕同一固定的转轴作圆周运动。刚体平面平行运动：指刚体上每一质元均在与某平面相平行的平面内运动。（2）描述刚体定轴转动的角量角坐标用确定刚体的方位。角位移d质点在时间dt内的角坐标的变化量。角速度质点在时间dt内的角坐标的变化率，记为tdd角速度ω的方向用右手法则判定：把右手的拇指伸直，其余四指弯曲，使弯曲的方向与刚体转动的方向一致，此时的拇指方向就是ω的方向。角加速度角速度的瞬时变化率，记为22ddddtt角量与线量的关系为rvrat22rrvan匀速定轴转动公式t0匀变速定轴转动公式t020021tt)(20202与质点的匀变速直线运动规律相似。2．转动定律（1）力矩MrF其中r是定点O到力F的作用点的矢径，M的方向为矢积的方向，M的大小为64sinMFr在定轴转动中，r、F均在转动平面内，所以力矩的方向总是沿转轴方向，这时力矩可表示为代数量。（2）转动惯量J描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。2iirmJ当质量连续分布时VmrJd2转动惯量J的地位与平动中的质量m的地位相当。转动惯量与刚体的总质量和质量分布有关，还与转轴的位置有关。平行轴定理若两轴平行，其中一轴通过质心C，则刚体对两轴的转动惯量有如下关系2mdJJC其中JC为刚体对通过质心C的轴的转动惯量，d为两平行轴之间的间距。（3）转动定律刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受合外力矩成正比，与转动惯量成反比。即ddMJJt式中、、JM均相对于同一转轴。转动定律是解决刚体定轴转动问题的基本方程。3．力矩的时间累积效应（1）质点的角动量、角动量定理和角动量守恒定律质点的角动量LLrprmv其中r为质点相对所选参考点O的位矢。角动量L的方向为矢积的方向，L的量值为sinLrmv若质点在半径为r的圆周上运动时，角动量L的量值为2Lrmmrv冲量矩力矩对时间的积累。等于力矩M与作用时间dt的乘积，记为dtM质点的角动量定理对同一参考点O，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。即2121dtttMLL式中L1和L2分别为质点在时刻t1和t2对参考点O的角动量，21dtttM为质点在时间间隔t2－t1所受冲量矩，这里的力矩和角动量必须是对同一参考点O而言的。质点的角动量守恒定律当质点所受对参考点O的合力矩为零时，质点对该参考点O的角动量为一恒矢量。即Lr=m恒矢量v（2）定轴转动刚体的角动量、角动量定理和角动量守恒定律定轴转动的角动量JL式中J、分别是刚体绕同一固定轴的转动惯量与角速度。定轴转动的角动量定理65当转轴给定时，作用在物体上冲量矩（角冲量）等于角动量的增量。即212121dtttJJMLL若在力矩作用的时间内，转动惯量随时间改变，上式写为212211dtttJJM这里的力矩和角动量必须是对同一固定转轴而言的。定轴转动的角动量守恒定律如果物体所受的合外力矩等于零，即0M，则刚体的角动量保持不变。即J恒量4．力矩的空间累积效应（1）力矩的功0dMW（2）力矩的功率dd=ddWMPMtt（3）刚体转动动能221JEk（4）定轴转动的动能定理合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。即22211122WJJ5．刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动是刚体质心的平动和绕质心转动的合成运动。如图3-1所示。（1）质心运动的运动学关系式rxCCrvraC（2）刚体的平面平行运动的动力学关系式质心运动方程CmFa转动定律CCJM刚体的动能221122kCCEmJv刚体的势能CpmghE刚体的机械能守恒定律当只有保守力作功时，刚体的机械能守恒。即PEEk常量五、解题指导及解题示例在本章中要重点掌握转动定律﹑角动量守恒定律﹑机械能守恒定律等规律求解简单刚体（如滑轮﹑杆）的定轴转动问题。例3-1一转动惯量为2mkg2.0的砂轮，在外力矩0.2(1)NmM的作用下做定COxCvAAC图3-1xr66轴转动，式中为砂轮转过的角位移。已知0t时，002radrad/s，。试求：（1）s2时砂轮的动能和角动量；（2）前s2内外力矩对砂轮所做的功及冲量矩。解（1）由转动定律ddMJt可得ddd0.2(1)dddJJtt对上式分离变量积分得12d2.0d)1(2.01①将①式改写为dd1t并积分20dd1tt得砂轮的运动方程1te②将②代入①得角速度为tes2t时，砂轮的动能、角动量分别为J46.5)(2.02121222eJEk220.21.48(kgm)/sLJe（2）由动能定理求得前s2内外力矩对砂轮所做的功为220115.36J22WJJ或由力矩功的定义式求出此功221122d0.2(1)d5.36JeeWM由角动量定理求得前s2内外力矩对砂轮的冲量矩为2200d1.28(kgm)/sMtJJ简注本题的关键是求出砂轮在任意时刻的角速度)(t，由此可容易地求出砂轮的动能2/2kEJ和角动量JL，而力矩的功可由动能定理或其定义式进行计算，冲量矩用角动量定理求得。求解砂轮在任意时刻的角速度时，由于M是的函数，积分变量要进行相应的代换，并要注意积分上下限的确定。例3-2如图3-2所示，滑轮的转动惯量为20.5kgmJ，半径为0.3mr，弹簧的劲度系数20N/mk，重物质量为2.0kgm。当此滑轮­重物系统从静止开始启动，开始时弹簧没有伸长。如摩擦可忽略，问物体能沿斜面滑下多远？图3-2解选重物和滑轮为研究对象，当滑块下滑x时，由牛顿定律和转动定律得67sinTmgFma①()TkFFrJ②其中kFkx，由角量和线量关系得ar③联立①、②、③式解得)sin(22kxmgJmrra④将ddddatxvvv代入④式分离变量并进行积分2200d(sin)dlmrJmgkxxrvvv2222(sin)2rklmglmrJv令0v，得物体沿斜面下滑的距离为m8.11sin2kmgl根据题意，舍去l=0（初始状态）简注本题是一个典型的刚体与质点刚性连接的联体问题，通常采用隔离法。对平动物体应用牛顿定律列方程，对定轴转动物体应用转动定律列方程，然后由题意找出线量与角量的关系，联立求解即可。例3-3如图3-3所示，一长为l、质量为m的均质细杆，可绕其一端的水平光滑固定轴转动，将杆从水平位置静止释放，试求转到任一角度时杆角加速度及角速度。解1如图所示，作定轴转动的杆受到重力mg和轴力N的作用，但只有重力产生力矩，根据定轴转动定律，有231cos2mlJlmg解得任一角度时杆的角加速度cos23lg由ddddddddtt可化为00dcos23dlg任一角度时杆的角速度为lgsin3或者由机械能守恒定律求出角速度，因下摆过程只有重力作功，系统的机械能守恒。取图3-3M、lO68杆水平位置时为零重力势能点，sin23121022lmgmllgsin3简注本题属变力矩情况，故=（），体现出转动定律的瞬时性。在由求的积分中需要进行变量代换dtd。结果表明，cos，sin。当=0时：=0，=3g/（2l）（最大值）；当=／2时：=3/gl（最大值），=0。例3-4如图3-4a所示，一长l=0.4m，质量m1=1.00kg的均质细杆，可绕水平光滑固定点O在铅直面内摆动，另一质量为m2=8g的子弹，以速度v=200m/s水平射入细杆的下端，并留在杆中，求细杆开始上摆时的角速度及最大偏转角.解子弹射入细杆的过程极短暂，可认为细杆仍处于竖直位置，在子弹和细杆所组成的系统中，系统的外力为子弹、细杆所受重力及轴的支撑力，但这些力对轴O均无力矩，故系统的角动量守恒。2221213mlmlmlv11.8rad/s系统上摆过程中，只有重力作功，系统的机械能守恒，选取细杆处于竖直位置时子弹的位置为势能零点222121211(1cos)(1cos)232lmlmlmgmgl解上式可得细杆上摆的最大偏转角为27.5简注碰撞过程系统无外力矩的作用，系统的角动量守恒；上摆过程只有重力（重力矩）作功，满足机械能守恒定律。最常见的错误是子弹与杆碰撞过程用动量守恒，即221()mmmlv，上式为什么错了呢？原因是碰撞时轴O对杆在水平方向的作用力不能忽略，所以不满足动量守恒的条件，但该力对点O的力矩为零，因此以O为参考点的角动量守恒；如果将杆换成软绳系一质量为m1的重物如图3-4b，则轴O对绳的作用力只能沿绳的方向，碰撞瞬间水平方向作用力为零，这才有水平方向上的动量守恒。例3-5如图3-5所示，质量为m，半径为R的均质圆盘，角速度为0，不计轴承处的摩擦，若空气对圆盘表面单位面积的摩擦力正比于该处的线速度，即fkv（k为常数）求：（1）所受的空气阻力矩M等于多少？（2）盘在停转前所转过的圈数N等于多少？解（1）圆盘转动时，所受摩擦力连续分布在盘的上、下表面上，图3-50Oa）vm2m1lb）vm2lOm1图3-469将圆盘分成许多的圆环形的面元，其面积rrSd2d，圆盘所受阻力矩就是SrfFrMd2d202(2d)Rrkrrv3022dRkrr4kR（2）根据转动定律，阻力矩