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第3章圆的基本性质单元复习3.1圆3.1.1圆·连接圆上任意两点的线段叫做弦。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。3.1.2垂直于弦的直径·垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦的直径垂直于弦且平分弦所对的两条弧。3.1.3弧、弦、圆心角1、顶点在圆心的角叫做圆心角。2、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。推论1：相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等。推论2：相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等。例2如图，在⊙O中，AB⊥AC且AB=AC，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，.求证四边形ADOE是正方形。证明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC∴∠OEA=∠EAD=∠ADO=90°∴四边形ADOE是矩形∵OD⊥AB，OE⊥AC∴D、E分别平分AB、AC（垂径定理）∵AB=AC∴AD=AE∴四边形ADOE是正方形。例1赵州桥的主桥拱为圆弧形，它的跨度为37.4m，拱高为7.2m，求主桥拱的半径。解：如图，⌒AB表示主桥拱，设⌒AB所在的圆心为O，半径为R，过O作OC⊥AB交AB于D，根据垂径定理，D为AB的中点。已知：AB=37.4m，CD=7.2m，∴AD=AB÷2=18.7m，OD=R-7.2在Rt△AOD中，R2=18.72+(R-7.2)2，解得R≈27.9m答：主桥拱的半径约为27.9m。例3如图，在⊙O中，⌒AB=⌒AC，∠ACB=60°，求证∠AOB=∠BOC=∠COA。证明：∵⌒AB=⌒AC∴AB=AC，△ABC为等腰三角形（相等的弧所对的弦相等）∵∠ACB=60°∴△ABC为等边三角形，AB=BC=CA∴∠AOB=∠BOC=∠COA（相等的弦所对的圆心角相等）3.1.4圆周角1、顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对的圆心角的一半。推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧也一定相等。推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。3、如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形就叫做圆内接多边形，这个圆就叫做多边形的外接圆。4、圆内接四边形的对角互补。求证：圆内接四边形的对角互补。证明：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∵∠A所对弧为⌒BCD，∠C所对弧为⌒BAD，且⌒BCD和⌒BAD所对的圆心角的和为周角∴∠A+∠C=360°÷2=180°同理∠B+∠D=180°∴圆内接四边形的对角互补。例5如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长度。解：∵AB是直径（已知）∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）在Rt△ABC中，BC=102-62=8cm（勾股定理）∵CD平分∠ACB（已知）∴∠ACD=∠BCD（角平分线定义）∴⌒AD=⌒BD（两个圆周角相等，则所对的弧也相等）∴AD=BD（相等的弧所对的弦相等）在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2（勾股定理）∴AD=BD=102÷2=52cm例4求证：①如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角.三角形。②圆内接平行四边形是矩形。证明①：如图，设OC为AB边上的中线，以OC为半径画圆，∵AB=2OC∴AB为⊙O的直径∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）∴△ABC为直角三角形。证明②：∵它是平行四边形∴对角相等∵它是圆内接四边形∴对角互补∴一组对角为180°÷2=90°∴它是矩形。3.2点、直线、圆和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系1、若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有：点P在圆外dr；点P在圆上d=r；点P在圆内dr。（“”读作“等价于”，表示可以从符号“”的一端得到另一端）2、经过已知的两个点的圆的圆心在这两个点的连线段的垂直平分线上。3、不在同一直线上的三个点确定一个圆，确定方法：作三点的连线段的其中两条的垂直平分线，交点即为圆心，以圆心到其中一点的距离作为半径画圆即可。4、若三角形的三个顶点在同一个圆上，那么这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。5、假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，则假设不正确，故原命题成立，这种证明方法叫做反证法。3.2.2直线和圆的位置关系1、当直线与圆有两个公共点时，叫做这条直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线。当有一个公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。当没有公共点时，叫做直线与圆相离。2、若⊙O的半径为r，直线l到圆心的距离为d，则有：直线l与圆相交dr；直线l与圆相切d=r；直线l与圆相离dr。3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线就是圆的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。4、经过圆外一点作圆的切线，这个点到切点的长度叫做这点到圆的切线长。5、切线长定理：从圆外一点可以引出两条切线，它们的切线长相等，这个点与圆心的连线平分两条切线的夹角。6、与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条边的角平分线的交点，叫做三角形的内心。确定内切圆方法：作出角平分线，以交点为圆心，以它到任意一边的距离为半径作圆即可。例6.求证：经过同一直线上的三个点无法作出一个圆。证明：假设过同一直线l上的三个点A、B、C可以作出一个圆如图，设这个圆的圆心为O，则点O在AB、BC的垂直平分线l1、l2上即点O是l1、l2的交点，因为l1⊥l，l2⊥l与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾所以经过同一直线上的三个点无法作出一个圆。例7如图，直线AB经过⊙O上的点C，OA=OB，AC=BC，求证直线AB是⊙O的切线。证明：连接OC∵OA=OB∴△AOB是等腰三角形∵AC=BC∴OC是AB边上的中线∴OC⊥AB（三线合一）∴直线AB是⊙O的切线。（切线的判定定理）3.2.3圆和圆的位置关系1、如果两个圆没有公共点，就叫做这两个圆相离（如(1)(5)(6)）。其中(1)叫做外离，(5)(6)叫做内含，(6)中两圆同心是内含的一种特殊情形。2、如果两个圆只有一个公共点，就叫做这两个圆相切（如(2)(4)）。其中(2)叫做外切，(4)叫做内切。3、如果两个圆有两个公共点，就叫做这两个圆相交（如(3)）。4、若两个圆的半径分别为r1、r2（r1r2），圆心距（两圆圆心的距离）为d，则外离dr1+r2内含dr1-r2外切d=r1+r2内切d=r1-r2相交r1-r2dr1+r2例8.如图，△ABC的内切圆⊙O分别与三边相切于D、E、F，已知AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长度。解：设AF=xcm，则AE=xcmCE=CD=(13-x)cm（切线长定理）BF=BD=(9-x)cm（同上）∵BD+CD=BC∴(13-x)+(9-x)=14解得x=4∴AF=4cm，BD=9-4=5cm，CE=13-4=9cm例9如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的切线CD垂直，.求证AC平分∠BAD。证明：连接OC∵CD与⊙O相切（已知）∴OC⊥CD（切线的性质定理）∵AD⊥CD（已知）∴AD∥OC（平行于同一直线的两条直线平行）∴∠CAD=∠OCA（两直线平行，内错角相等）∵OA=OC（所有的半径长度相等）∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）∴∠OAC=∠CAD（等量代换）∴AC平分∠BAD（角平分线定义）3.3正多边形和圆1、将一个圆分成n段相等的弧，再将弧的端点顺次连接，即可得到圆内接正n边形，这个圆就叫做正n边形的外接圆。2、正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，其外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做中心角，中心到正多边形任意一边的距离叫做边心距。3、画边长为R的正六边形的方法：①以R为半径作圆，用量角器画出一个(360°÷6=)60°的圆心角，它对着一段弧，在圆上依次截取与它相等的弧，得到圆的6等分点，顺次连接即可。②以R为半径作圆，找圆上一点依次截取等于R的弦，便能六等分圆，连接分点即可。4、尺规画正方形的方法：在圆内画两条互相垂直的直径，便能四等分圆，连接分点即可。例12如图，正方形ABCD的边长为4cm，剪去四个角后得到一个正八边形，.求它的边长和面积。（保留根号）解：设正八边形的边长PQ=OP=xcm，则AO=AP=4-x2cm，在Rt△AOP中，2(4-x2)2=x2，解得x=±42-4∵x0，∴舍去根-42-4∴边长=42-4，AO=4-22∴面积S八边形=S正-4S△=42-(4-22)2÷2×4=322-32答：正八边形的边长为(42-4)cm，面积为(322-32)cm2。例10如图，将⊙O分成相等的5段弧，顺次连接得到五边形ABCDE，.求证五边形ABCDE是⊙O圆内接正五边形。证明：∵⌒AB=⌒BC=⌒CD=⌒DE=⌒EA∴AB=BC=CD=DE=EA（相等的弧所对的弦相等）∵⌒BCE=⌒CDA=3⌒AB∴∠A=∠B（等弧所对的圆周角相等）同理∠B=∠C=∠D=∠E∵五边形ABCDE的顶点都在圆上∴五边形ABCDE是⊙O的圆内接正五边形。例11有一个亭子的地基如图所示，它是一个半径为4m的正六边形，.求地基的周长和面积（保留根号）。解：画正六边形的外接圆⊙O∵六边形ABCDEF是正六边形∴中心角∠BOC=360°÷6=60°∴△BOC是等边三角形∴BC=R=4m（正六边形的半径等于边长）∴周长C=4×6=24m在Rt△COP中，OC=4m，PC=4÷2=2m∴边心距r=42-22=23m∴面积S=4×23÷2×6=123m2正多边形补充知识：1、正多边形都有内切圆和外接圆，这两个圆是同心圆（即垂直平分线、角平分线的交点）。2、设正n边形的半径为R，边心距为r，边长为a，周长为C，面积为S，有：（1）a=2R·sin(180°/n)（2）r=R·cos(180°/n)（3）S=1/2r·a·n=1/2Cr3、每一个正多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它还是中心对称图形。例14已知圆的半径为r，.求：①外切正三角形的边长，②外切正六边形的边长。解：①如左图，∠AOB=360°÷3=120°∴∠AOP=120°÷2=60°∴AP=OP·tan60°=3r∴边长AB=23r②如右图，∠AOB=360°÷6=60°∴∠AOP=60°÷2=30°∴AP=OP·tan30°=33r，∴边长AB=233r例13用48m长的篱笆围一个养鸡场，现有以下几种方案：①正三角形，②正方形，③正六边形，④圆，围成的面积分别为多少（保留一位小数）？最大的是哪种？解：①如图，边长BC=48÷3=16m，∴CD=16÷2=8m∴AD=162-82=83m，∴S△=83×16÷2=643≈110.9m2②正方形边长为48÷4=12m，S□=122=144m2③如图，边长AB=OB=48÷6=8m，∴PB=8÷2=4m∴OP=82-42=43m，∴S=43×8÷2×6=963≈166.3m2④圆的半径为482π=24πm，∴S⊙=π·(24π)2=π·576π2=576π≈183.4m2∴面积最大的是圆形。在例14第①小题中，O点是正三角形ABC的重心、垂心、内心、外心。重心：三角形三条中线的交点性质：①重心到顶点的距离与到任意一边中点的距离之比为2︰1。②重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。③在平面直角坐标系中，重心的坐标等于三个顶点坐标的算术平均数。垂心：三角形三条高线的交点性质：①三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。②把三角形分成十二个直角三角形，构成三组相似三角形，每组四个。如右下图，相似三角形有：△AOB∽△DOE∽△ACD∽△BCE，△AOF∽△COD∽△ADE∽△CEF，△BOC∽△EOF∽△ABE∽△ACF。内心：三角形三条内角平分线的交点（三角形内切圆的圆