第3章导数极大值与极小值

3.3.2极大值与极小值课时目标1.了解极大(小)值的概念.2.结合图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.3.能利用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值．1．若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧__________．类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧________．我们把f(a)叫做函数的__________；f(b)叫做函数的__________．极大值和极小值统称为________．极值反映了函数在______________的大小情况，刻画的是函数的________性质．2．函数的极值点是______________的点，导数为零的点__________(填“一定”或“不一定”)是函数的极值点．3．一般地，求函数f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是__________；(2)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是__________；(3)如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)____________．一、填空题1．已知函数f(x)，x∈R，且在x＝1处f(x)存在极小值，则成立的结论为________．(填序号)①当x∈(－∞，1)时，f′(x)0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0；②当x∈(－∞，1)时，f′(x)0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0；③当x∈(－∞，1)时，f′(x)0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0；④当x∈(－∞，1)时，f′(x)0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0.2．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝______，b＝______.3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则b的取值范围为________．4．函数f(x)＝x＋1x在x0时有________．(填序号)①极小值；②极大值；③既有极大值又有极小值；④极值不存在．5．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为________．6．若函数f(x)＝x2＋ax＋1在x＝1处取极值，则a＝______.7．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a、b的值分别为________、________.8．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________．二、解答题9．求下列函数的极值．(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝xe－x.10.设函数f(x)＝x3－92x2＋6x－a.(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．能力提升11．已知函数f(x)＝(x－a)2(x－b)(a，b∈R，ab)．(1)当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2.证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4.1．求函数的极值问题要考虑极值取到的条件，极值点两侧的导数值异号．2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，利用极值可以解决一些函数解析式以及求字母范围的问题．3．3.2极大值与极小值知识梳理1．f′(x)0f′(x)0f′(x)0f′(x)0极小值极大值极值某一点附近局部2．导数为零不一定3．(1)f′(x0)0f′(x0)0极大值(2)f′(x0)0f′(x0)0极小值(3)不是极值作业设计1．③解析∵f(x)在x＝1处存在极小值，∴x1时，f′(x)0，x1时，f′(x)0，故③成立．2．－3－9解析由题意y′＝3x2＋2ax＋b＝0的两根为－1和3，∴由根与系数的关系得，－1＋3＝－2a3，－1×3＝b3，∴a＝－3，b＝－9.3．(0,1)解析f′(x)＝3x2－3b，要使f(x)在(0,1)内有极小值，则f′00f′10，即－3b03－3b0，解得0b1.4．①解析∵f′(x)＝1－1x2，由f′x0，x0得x1，即在(1，＋∞)内f′(x)0，由f′x0，x0得0x1，即在(0,1)内f′(x)0，∴f(x)在(0，＋∞)有极小值．5．(－∞，－3)，(6，＋∞)解析∵f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，∴f′(x)的图象是开口向上的抛物线，只有当Δ＝4a2－12(a＋6)0时，图象与x轴的左交点两侧f′(x)的值分别大于零、小于零，右交点左右两侧f′(x)的值分别小于零、大于零．所以才会有极大值和极小值．∴4a2－12(a＋6)0得a6或a－3.6．3解析f′(x)＝2xx＋1－x2＋ax＋12＝x2＋2x－ax＋12.∵f′(1)＝0，∴1＋2－a4＝0，∴a＝3.7．1－3解析因为f′(x)＝3ax2＋b，所以f′(1)＝3a＋b＝0.①又x＝1时有极值－2，所以a＋b＝－2.②由①②解得a＝1，b＝－3.8.22，＋∞解析∵f′(x)＝3x2－3a2(a0)，∴f′(x)0时得：xa或x－a，f′(x)0时，得－axa.∴当x＝a时，f(x)有极小值，x＝－a时，f(x)有极大值．由题意得：a3－3a3＋a0，－a3＋3a3＋a0a0，，解得a22.9．解(1)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：从表中可以看出，当x＝－2时，函数f(x)有极大值，且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；当x＝2时，函数f(x)有极小值，且f(2)＝23－12×2＝－16.(2)f′(x)＝(1－x)e－x.令f′(x)＝0，解得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：函数f(x)在x＝1处取得极大值f(1)，且f(1)＝1e.10．解(1)f′(x)＝3x2－9x＋6.因为x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得m≤－34，即m的最大值为－34.(2)因为当x1时，f′(x)0；当1x2时，f′(x)0；当x2时，f′(x)0.所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a；当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a，故当f(2)0或f(1)0时，f(x)＝0仅有一个实根．解得a2或a52.11．(1)解当a＝1，b＝2时，f(x)＝(x－1)2(x－2)，因为f′(x)＝(x－1)(3x－5)，故f′(2)＝1，又f(2)＝0，所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y＝x－2.(2)证明因为f′(x)＝3(x－a)(x－a＋2b3)，由于ab，故aa＋2b3，所以f(x)的两个极值点为x＝a，x＝a＋2b3.不妨设x1＝a，x2＝a＋2b3，因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f(x)的零点，故x3＝b.又因为a＋2b3－a＝2(b－a＋2b3)，x4＝12(a＋a＋2b3)＝2a＋b3，此时a，2a＋b3，a＋2b3，b依次成等差数列，所以存在实数x4满足题意，且x4＝2a＋b3.