第3章机械能和功

第3章机械能和功一、功1、功能的定义式：恒力的功：变力的功：2、保守力若某力所作的功仅取决于始末位置而与经历的路径无关，则该力称保守力。或满足下述关系的力称保守力：3、几种常见的保守力的功：（1）重力的功：（2）万有引力的功：（3）弹性力的功：4、功率二、势能保守力的功只取决于相对位置的改变而与路径无关。由相对位置决定系统所具有的能量称之为势能。1、常见的势能有（1）重力势能（2）万有引力势能（3）弹性势能2、势能与保守力的关系（1）保守力的功等于势能的减少（2）保守力为势能函数的梯度负值。（3）势能曲线势能曲线能很直观地表述一维运动的主要特征，如运动范围，平衡位置，保守力随位置的变化情况，动能与势能的相互转换等。三、动能定理、功能原理、机械能守恒定律功可分为：外力的功、保守内力的功、和非保守内力的功1、质点动能定理：2、质点系动能定理：3、功能原理：4、机械能守恒定律：，时，第3章机械能和功【例3-1】已知三种力如下：；；。式中、为x、y方向的单位矢量，为速度方向的单位矢量，、K为常数。（1）分别计算这三种力沿任意路径所作的功；（2）判断哪是保守力，哪是非保守力；【解】（1）根据题意及功的定义，处理、力作功取直角坐标，处理力作功取自然坐标，原点选在运动的开始点，则：（2）根据保守力的定义：（s为闭合路径的长度）因此、为保守力，为非保守力。【例3-2】轻弹簧AB的上端A固定，下端B悬挂质量为的重物。已知弹簧原长，劲度系数为，重物在O点达到平衡，此时弹簧伸长了，如图所示。取轴向下为正，且坐标原点位于：（1）弹簧原长位置；（2）力的平衡位置。若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，试分别计算重物在任一位置时系统的总势能。【解】（1）以弹簧原长点为坐标原点，系统总势能（2）若以重力与弹性力合力的平衡位置为原点，则有任意位置x处的系统总势能：由此可知，以重力和弹性力合力的平衡位置为原点为势能的零点，它的总势能与只有弹性势能的是等效的。这样势能零点的选取，应用在实际问题中就方便多了。这一结果还可以从另一方面来理解，重力和弹性力都是保守力，它的合力F也应是保守力，现取重力和弹性力的平衡位置为坐标原点，则合力的大小与单纯只有弹性力一样，因为它的总势能就应【例3-3】双原子分子的势函数可表示为：式中a、b为正常数，这势函数曲线可如题图3-3a所示，如果双原子分子的总能量为零。求：（1）双原子之间的最小距离；（2）双原子之间平衡位置的距离；（3）双原子之间最大引力时的两原子距离；（4）势阱深度Ed:（5）画出与势能曲线相应的原子之间的相互作用力曲线。【解】（1）由题意双原子的总能量为零，即当动能时，为最大，两原子之间有最小距离解得：（2）平衡位置的条件为F=0。又有势函数与两原子相互作用力的关系：可得：（3）最大引力的条件为：即：此时两原子相距：（4）将平衡位置两原子之间的距离代入势函数公式，可得势阱深度：（5）分子之间相互作用的势能曲线可用题图3-3a表示，由保守力与势能系数的关系：可知，势能曲线斜率的负值应为保守力的大小。势能曲线上极小植的位置处应有：也就是在位置处，保守力F为零。在势能曲线的拐点位置处应有：也就是保守力F的最小值的位置，由此可画出图3-3b的分子间相互作用力随位置的关系曲线的大致情况了【例3-4】在密度为的液面上方，悬挂一根长为，密度为的均匀棒AB，棒的B端刚和液面接触如题图3-4a，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运动，在的条件下，求细棒下落过程中的最大速度，以及细棒能潜入液体的最大深度H。【解】现在只要求某一状态的情况，采用功能原理解题比较方便。先求棒B端沉入液面处浮力F所作的功（设棒的横截面积为s）：时：重力所作的功：由动能定理得：（1）要求细棒下沉最大的速度也是相当于求细棒动能的最大值，我们将上式对求导，并使等于零。（2）解得时细棒有最大动能。将此式代入（1）式可得细棒最大速度。即：得：（2）式告诉我们，当细棒的重力等于浮力时，棒在处已达到最大速度了，当细棒继续下沉时，向上的浮力大于重力，速度将不断变小，当棒沉到最深位置H处，棒的速度为零，也就是重力所作的功与浮力所作的功正好抵消的位置，我们可以列出方程：上式中我们应注意到棒全部没入液体已为恒力。解得：由此式可知棒要全部没入液体中的条件为：，即：解得：，这也就是题目所规定的条件。（在或的情况，请读者自己考虑。）【例3-5】若在近似圆形轨道上运行的卫星受到尘埃的微弱空气阻力的作用，设阻力与速度的大小成正比，比例系数为常数，即，试求质量为的卫星，开始在离地心（为地球半径）陨落到地面所需的时间。【解】卫星运行时间内，阻力所作的功（1）卫星在运行轨道处它的向心力是万有引力提供的：（2）由此可得卫星的动能：而卫星的势能：可得卫星在运行轨道处的总机械能：（3）由功能原理将（2）式代入上式（4）比较（1）、（4）式得：得积分得：第3章机械能和功3.1如图所示，一质点在几个力作用下沿半径的圆周运动，其中有一恒力，求质点从A开始沿逆时针方向经圆周到达B的过程中，力所做的功。3.2质量为m的小球系于绳的一端，绳长为，上端A固定，如图所示。今设水平变力作用在该小球上，使小球极其缓慢地移动，即在所有位置上均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成角，（1）试用变力作功方法计算力力的功；（2）计算重力所做的功。3.5一质点在外力（试中为常量）作用下由点运动到点，如图所示。（1）求在此过程中外力所做的功；（2）判断外力是否为保守力?3.6地球质量为M，半径为R，一质点质量为m，处于距地心处。求质点地球系统在此相对位置时的引力势能：（1）取无穷远处为势能零点参考位置；（2）取地球表面为势能零点参考位置。3.8一粒子沿x轴运动，其势能的函数曲线如图所示。若该粒子所具有的总能量，试分析：（1）该粒子的运动范围；（2）粒子的平衡位置；（3）粒子在处的动能；（4）粒子受到最大力的位置。3.12在如图所示装置中，定滑轮高度为，重物质量，拉力，方向竖直向下，若不计滑轮与轴承间摩擦和重物与地面间的摩擦，将重物自静止开始从位置Ⅰ拉到位置Ⅱ时的速度。3.17弹簧原长正好等于圆环半径R，弹簧下悬挂一质量为m的重环，当弹簧的总长时重环正好达到平衡状态。现将弹簧的一端系于竖直放置的圆环上端A点，将重环套在光滑圆环上，AB长为，重环在B点由静止释放沿圆环滑动，如图所示。试求：重环滑到最低点C处时的加速度以及对圆环的压力。3.19质量为m的卫星，沿圆轨道绕地球运行。地球的质量为M，半径为R，试求：（1）要使卫星进入的圆轨道，其发射速度至少应多大?（2）要使卫星飞离地球至无穷远处，至少应做多少功?3.20在一半径为的星球表面（无大气层），若以的速度竖直上抛一物体，则该物体上升的最大高度为，试问：该星球的逃逸速度（即脱离该星球的最小速度）为多大?3.22如图所示，一质量为m，长为的柔索放在桌面上，柔索跨过轻滑轮下垂，其问摩擦不计，柔索与桌面间的摩擦系数为。（1）求下垂长度至少为多长时，柔索开始下滑？（2）计算柔索全部离开桌面时的速度。第3章机械能和功答案3.13.2（1）；（2）3.53.6（1）；（2）3.8（1）（2）（3）（4）3.123.17，3.19（1）；（2）3.22（1）；（2）提示3.22设柔索的单位长度质量为。（1）有，可解得。（2）摩擦力的功，再由动能定理或功能原理可解得。教材习题：3.1航天飞机初动能远大于重力势能（题中未给出航天飞机高度），远大于未动能，计算得空气阻力的功。3.2（1）3.5（2）3.63.93.13（1）（2）；3.143.15