第3章离散信源

·1·3.1设有一离散无记忆信源，其概率空间为8/14/1324/18/310)(4321xxxxXPX该信源发出的信息序列为(202120130213001203210110321010021032011223210)。求：(1)此消息的自信息量是多少？(2)此消息中平均每符号携带的信息量是多少？解：(1)此消息总共有14个0、13个1、12个2、6个3，因此消息发出的概率是：62514814183p此消息的信息量是：bitpI811.87log(2)此消息中平均每符号携带的信息量是：bitnI951.145/811.87/3.2某一无记忆信源的符号集为{0,1}，已知信源的概率空间为4/34/110)(XPX(1)求信息符号的平均熵；(2)由100个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有m个“0”和（100-m）个“1”）的自信息量的表达式；(3)计算(2)中序列的熵。解：(1)bitxpxpXHiii811.043log4341log41)(log)()((2)bitmxpxIxpmiimmmi585.15.4143log)(log)(434341)(100100100100100(3)bitXHXH1.81811.0100)(100)(1003.5某信源的消息符号集的概率分布和二进制代码如题表3.2所列。题表3.2信源0u1u2u3up1/21/41/81/8代码010110111·2·(1)求信息的符号熵；(2)求每个消息符号所需要的平均二进制码的个数或平均代码长度。进而用这一结果求码序列中的一个二进制码的熵；(3)当消息是由符号序列组成时，各符号之间若相互独立，求其对应的二进制码序列中出现0和1的无条件概率0p和1p，求相邻码间的条件概率1/0p、0/1p、1/1p、0/0p。解：(1)bitxpxpXHiii75.181log8181log8141log4121log21)(log)()((2)bitXHLXHNXHlxplELNiiii1)(1)(1)(75.1381381241121)()((3)设消息序列长为N，则0u、1u、2u、3u的个数分别为8/,8/,4/,2/NNNN个。则0的个数为8708181412NNNNN而1的个数为8738281402NNNNN因而5.010pp212141/21212121/21212121/212141/1111/11010/10000/01101/0pppppppppppp3.7设有一个信源，它产生0，1序列的信息。该信源在任意时间而且不论以前发生过什么消息符号，均按P(0)=0.4，P(1)=0.6的概率发出符号。(1)试问这个信源是否是平稳的；(2)试计算H(X2),H(X3/X1X2)及H∞；(3)试计算H(X4)并写出X4信源中可能有的所有符号。解：(1)这个信源是平稳无记忆信源。因为有这些词语：“它在任意时间．．．．而且不论以前发生过什么符号．．．．．．．．．．．……”(2)bitXHXXXXHHbitxpxpXHXXXHbitXHXHNNNNiii971.0)().../(lim971.0)6.0log6.04.0log4.0()(log)()()/(942.1)6.0log6.04.0log4.0(2)(2)(12132132·3·(3)1111111011011100101110101001100001110110010101000011001000010000的所有符号：884.3)6.0log6.04.0log4.0(4)(4)(44XbitXHXH3.11有一马尔可夫信源，已知转移概率为3/2)/(11SSp，3/1)/(12SSp，1)/(21SSp，0)/(22SSp。试画出状态转移图，并求出信源熵。解：bitSSpSSpSpHSpSpSpSpSpSpSpSpSpSpSpSSpSpSSpSpSpSSpSpSSpSpSpijijiji689.031log314332log3243)/(log)/()(4/1)(4/3)(1)()()(31)()(31)()()(32)()/()()/()()()/()()/()()(21211212211121222221211113.21黑白传真机的信息元只有黑色和白色两种X={黑，白}，一般气象图上黑色出现的概率为P(黑)=0.3，白色出现的概率为P(白)=0.7，黑白消息前后没有关联，其转移概率为P(白/白)=0.9，P(黑/白)=0.1，P(白/黑)=0.2，P(黑/黑)=0.8。求该一阶马尔可夫信源的不确定性H(X/X)，并画出该信源的状态转移图。解：S1S22/311/3·4·bitSSpSSpSpHSpSpSpSpSpSpSpSpSpSpSpSpSSpSpSSpSpSpSSpSpSSpSpSpijijiji553.09.0log9.0321.0log1.0322.0log2.0318.0log8.031)/(log)/()(3/2)(3/1)(1)()()(2)()(2.0)(9.0)()(1.0)(8.0)()/()()/()()()/()()/()()(212112122211121222221211113.23设信源产生A,B,C三种符号2/1)/(BBp，4/1)/()/(BCpBAp，8/5)/(AAp，4/1)/(ABp，8/1)/(ACp，8/5)/(CCp，4/1)/(CBp，8/1)/(CAp。试计算冗余度。解：ACB1/41/81/45/81/25/81/41/81/4)(85)(41)(81)()(41)(21)(41)()(81)(41)(85)(CBACCBABCBAAspspspspspspspspspspspsp黑白p(黑/黑)=0.8S1S2p(白/白)=0.9p(白/白)=0.1p(白/黑)=0.2·5·138.03log366.111366.185log853141log413181log813141log413121log213141log413181log813141log413185log8531)/(log)/()(3/1)(3/1)(3/1)(1)()()()()()(0333HHRbitpeepeepepHspspspspspspspspspijkijijiCBACBACBA3.26一阶马尔可夫信源的状态图如下图所示。信源X的符号集为{0,1,2}。(1)求平稳后信源的概率分布；(2)求信源的熵H∞。S3S1S2a2=1/4a1=1/4a3=1/3a1=3/4a2=2/3a3=3/4解：(1))(43)(31)()(41)(32)()(41)(43)(323122311spspspspspspspspsp·6·11/4)(11/3)(11/4)()(43)()()(3211231spspspspspspsp(2)biteepeepepHijkijiji840.043log4311441log4111431log3111332log3211341log4111443log43114)/(log)/()(333