第3章运动守恒定律教案

1第第第三三三章章章运运运动动动的的的守守守恒恒恒定定定律律律前一章我们运用牛顿运动定律研究了质点的运动规律，讨论了质点运动状态的变化与它所受合外力之间的瞬时关系。对于一些力学问题除分析力的瞬时效应外，还必须研究力的累积效应，也就要研究运动的过程。而过程必在一定的空间和时间内进行，因而力的积累效应分为力的空间积累和时间积累两类效应。在这两类效应中，质点或质点系的动量、动能或能量将发生变化或转移。在一定条件下，质点系内的动量或能量将保持守恒。（1）力的空间累计效应：功、能；（2）力的时间累计效应：冲量、动量；（3）相关规律：动能定理、功能原理、机械能守恒定律、能量守恒定律、动量定理、动量守恒定律、角动量守恒定律。本章的主要内容有：几种常见力做功的计算，势能计算方法，质点和质点系的动量定理和动能定理，外力与内力、保守力与非保守力力距、角动量等概念，以及动量守恒定律、机械能守恒定律和能量守恒定律。第一节保守力成对力作功势能由生活经验知道,从高处落下的重物能够作功，如打桩、高山上的瀑布落下带动发电机发电，这都说明位于高处的重物具有作功本领。本节将从几种常见力的作功特点出发，引出保守力和非保守力概念，然后介绍势能概念。一、万有引力、重力、弹性力作功的特点1.重力作功如图所示，重力在任一元位移中对质点所作的元功为：mgdyjdyidxjmgrdgmdW因此质点从a→b过程中重力所作的总功为：abhhbamghmghhhmgmgdydWWba若物体沿另一路径adb，结果相同。因此重力的功只与运动物体的始末位置有关，与运动物体所经过的路径无关。这是重力作功的一个重要特点。2.弹性力作功如图所示，弹性力为ikxfx，弹性力的功为：bababaxxxxxxxkxdxidxikxxdfW222221212121abbakxkxkxkx弹性力对小球作的功只与小球的始末位置有关，而与弹性形2变的过程无关。这一特点与重力作功的特点是相同的。3.万有引力作功如图所示，假设m不动，质点m在任一位置处所受的万有引力为rrmmGeF2其中re为沿位矢r的单位矢量。当m沿路径移动位移元rd时，万有引力作的功为：rerFdrmmGddWr2从上图可看出：drdddrrcoscosrrere则drrmmGdW2所以，质点m从点A沿任一路径到达点B的过程中，万有引力作的功为：drrmmGdWWBArrBA21即ABrrmmGW11上式表明，当质点的质量M'和m均给定时，万有引力作的功只取决于质点m的起始和终了的位置，而与所经过的路径无关。这与重力、弹姓力作功的特点一样。※重力、弹性力、万有引力作功特点的另一种表述：物体沿闭合路径绕行一周，这些力对物体所作的功恒为零。二、保守力与非保守力保守力作功的数学表达式1.保守力和非保守力力对物体所作的功只与物体的始末位置有关，而与路径无关。或者说物体沿闭合路径绕行一周，这些力对物体所作的功恒为零。具有这种特性的力统称为保守力，例如重力、弹性力、万有引力、静电力等。没有这种特性的力，统称为非保守力，如摩擦力、爆炸力、安培力等等。2.保守力作功的数学表达式0l闭合路径rdFW如图a所示，设一物体在保守力作用下由点A沿路径ACB到达点B，或沿路径ADB到达点B。根据保守力作功与路径无关的特点，有:ADBACBADBACBddWWrFrF如果物体沿如图b所示的ACBDA闭合路径运动一周时，保守力对物体作功为：BDAACBldddWrFrFrF注意到ADBBDAddrFrF所以有0ADBACBldddWrFrFrF上式表明，物体沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它所作的功为零。三、成对力的功（书107-109页图3-4）1、任何一对作用力与反作用力所作的总功与参考系造反无关。2、任意参考系中，成对保守力的功只取决于相互作用质点的始末相对位置，而与质点运动的路径无关。3四、势能物体具有能量的标志是它能作功，这一结论对质点系也是适用的。若质点系能对其他物体作功或对质点系内的质点作功，就表明质点系具有能量。由保守力作功的特点得知，不论沿什么路径从初位置到末位置，保守力对质点所作的功总是相同的，功的数值由质点的始末位置决定。所以，可以说质点在保守力场中位于初始点和终止点是处于两个不同的状态，这两个状态间存在着一个确定的差别，这种差别可以用当质点从一个状态转变到另一个状态时，保守力对质点所作的功为一确定值来表示。为了表示质点在不同位置的各个状态间的这种差别，我们说，质点在保守力场中每一位置都存储着一种能量，这种与质点位置有关的能量称为势能。1.势能差物体在保守力场中a,b两点的势能aEP、bEP之差等于质点由a点移动到b点过程中保守力对它所作的功Wab，即：baPPrdFbEaE（相当一个定义）。2.势能PE选取0r为势能零点，即00rEP，那么空间某点的势能rEP等于质点从该点移动到势能零点位置时保守力所作的功，00rrPPPrdFrErErE。例如：选取离地面高度y=0处00PE，则离地面高为y处的重力势能为：mgyEP选取弹簧原长x=0处00PE，则形变为x时的弹性势能为：22kxEP选取两个质点相距r处，0PE，则两质点相距r时的引力势能为rmmGEP3.势能和保守力的微分关系由baPPrdFbEaE可得：PPPbaEaEbErdFW)(即保守力对物体作的功等于物体势能增量的负值。微分表示为：pdErdF。若kFjFiFFzyxc，则有rdFdEp，比较得：xEFpx、yEFpy、zEFpz，即：pEF在一维情况下，如书上（3-19）式。4.讨论（1）势能是状态的函数：因为在保守力作用下，只要物体的起始和终了位置确定了，保守力所作的功也就确定了，而与所经过的路径无关，所以说，势能是坐标的函数，亦即是状态的函数。（2）某点处系统的势能只有相对意义，势能的值与势能零点的选取有关。势能零点也可以任意选取，但以简便为原则，选取不同的势能零点，物体的势能就将具有不同的值。但两点间的势能差则是绝对的，与势能零点的选取无关。（3）势能是属于系统的：势能是由系统内各物体间相互作用的保守力和相对位置决定的能量，因而它是属于系统的。单独谈单个物体的势能是没有意义的。如重力势能就是属于地球和物体所组成的系统的。同样，弹性势能和引力势能也是属于有弹性力和引力作用的系统的。习惯上称某物体的势能，这只是叙述上的简便而已。（4）只有保守力场才能引入势能的概念。二、势能曲线当坐标系和势能零点确定后，质点的势能仅是坐标的函数，即),,(zyxEEPP。按此函数画出的势能随坐标变化的曲线，称为势能曲线。4重力势能弹性势能引力势能势能曲线是势能随相对位置变化的曲线。它为研究势场中的物体的运动提供了一种形象化的手段。以弹簧振子的势能曲线221kxEP为例，说明势能曲线的应用。（以下例子请自学）（1）从势能曲线上，可以清晰地看出物体在保守场中运动过程能量的转换关系。Ep-x图中，水平线代表系统的总机械能E，势能小于E的区域（-A到A之间）为物体可以到达的相对位置，当物体到达任意位置x时，系统的势能为Ep(见图示），总机械能E与Ep的差值即为该时刻物体的动能Ek。（2）由势能曲线上各点的斜率大小和正负，可以判定物体所受保守力的大小和方向。由dxdEFpx得x0区间0,0xpFdxdEx0区间0,0xpFdxdE即曲线上斜率大处Fx大，曲线上斜率小处，Fx小，斜率为零处，Fx=0。第二节功能原理前面讨论的是质点的能量——动能和势能，以及合外力对质点作功引起质点动能改变的动能定理。下面将讨论由多个质点组成的质点系的情况。而系统内的质点，既受到系统内各质点之间相互作用的内力，又可能受到系统外的物体对系统内质点作用的外力。无论内力或外力，都可以是保守力或非保守力。一、质点系的动能定理设系统内有n个质点，作用于各个质点的力所作的功，由质点的动能定理可分别得出：303320221011kkkkkkEEWEEWEEW以上各式相加可得：nikinikiniiEEW1011上式的物理意义是：作用于质点系的力所作的功，等于该质点系的动能增量。因为系统内的质点所受的力，既有来自系统外的外力，也有来自系统内各质点间相互作用的内力，所以有inexniininiexinii1115也就是nikinikiinexEEWW101质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切外力作的功于一切内力作的功之和。这就是质点系的动能定理。二、质点系的功能原理1.表达式推导我们将内力区分为保守内力和非保守内力，则inncincin而系统内保守力作的功等于势能增量的负值，即)(101nipinipiincEEW则质点系的动能定理可表示为：nikinikinipinipiinncexinncincexinexEEEE)(即：0101011)()(EEEEEEWWnipinikinipinikiinncex0EEWWinncex，这就是质点系的功能原理。2.表述质点系统从状态1变化到状态2时，所有外力的功和系统内非保守内力的功的总和等于系统机械能的增量。3.讨论功能原理与质点系动能定理不同之处是功能原理将保守内力作的功用势能差来代替。因此，在用功能原理解题的过程中，计算功时，要注意将内部保守内力的功除外。例：书117页3-2，3-3，3-4。第三节机械能守恒定律能量守恒定律一、机械能守恒定律1.数学表示当系统满足0inncexWW，则有0EE即)()(101011nipinikinipinikiEEEE2.文字表述如果一个系统只有保守内力做功，其它内力和一切外力都不做功，或所做功的代数和等于零，那末系统内各物体间的动能和势能可以互相转换，但它们的总和保持不变。——机械能守恒和转换定律。3.解题时注意事项（1）明确系统中的物体；（2）机械能守恒的前提:只有保守内力做功，其它内力和外力不做功，或它们作功的代数和为零，或可以忽略不计；（3）只适用于惯性参考系。因为在非惯性参考系中，即使满足上述条件，但由于惯性力可能做功，所以机械能不一定守恒；(4)与惯性参考系的选择有关。因为我们知道，内力总是成对出现的，它们作功的和与参考系的选择无关，但是外力作功却与参考系有关，它们作功总和是否为零则决定于参考系的选择。4.讨论机械能守恒定律也可以表示为：)()(101101nipinipinikinikiEEEE即pkEE6上式表明，在满足机械能守恒的条件下，系统内各质点的动能和各种势能可以相互转换，但它们的总和（即总机械能）却保持不变。二、能量守恒定律1、孤立系统：一个不受外界作用的系统。2、定律表述和意义如果系统内除了万有引力、弹性力等保守力作功以外，还有摩擦力或其他非保守内力作功，那么这系统的机械能就要发生变化，但它总是转换为其他形式的能量，这是由大量的实验所证明的。对于一个孤立系统来说，系统内各种形式的能量是可以相互转换的，但是不论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭。——能量守恒定律该定律是自然界的基本定律之一，是物理学中最具普遍性的定律之一，可适用于任何变化过程，不论是机械的、热的、电磁的、原子和原子