第3节(非齐次边界条件的处理)

1第三节非齐次边界条件的处理在前边的讨论中，不管是齐次泛定方程还是非齐次泛定但在实际应用中，常有非齐次边界条件，此时由于定解（一）一般处理方法例1自由振动问题)(|),(|)(|),(|00002xuxututuuautttlxxxxtt非齐次边界条件条件化为另一未知函数的齐次边界条件问题。问题是线性的，处理的原则是利用叠加原理，把非齐次边界方程他们定解问题中的解法有个前提：边界条件是齐次的！2选取函数v（x，t）使其满足非齐次边界条件，不妨取)()(),(tBxtAtxv代入非齐次边界条件)(|),(|0tutulxx可解得)()()(),(txltttxv利用叠加原理，令),(),(),(txwtxvtxu将v和u代入定解问题可得w的定解问题)0()]0()0([1)(|)(|)0()]0()0([1)(|)(|0|,0|)()()(0000022xlxvxwxlxvx到此方程虽仍然是非齐次的，但具有齐次的边界条件，可以按照前面所讲的方法求解。如果x＝0和x＝l两端都是第二类非齐次边界条件)(|),(|0tutulxxxx还取x的线性函数作v，则代入非齐次边界条件得：)()(|),()(|0ttAuttAulxxxx除非两者相等，否则矛盾，此时可令xtBxtAtxv)()(),(2（二）特殊处理方法注例2弦的x＝0端固定，x＝l端受迫作谐振动tAsin弦的初始位移和初始速度都是零，求弦的振动。4定解问题是0|,0|sin|,0|00002tttlxxxxttuutAuuuau非齐次边界条件按上述一般处理方法求解烦琐，下面讨论一种特殊方法。弦在x＝l端受迫作谐振动tAsin此时一定有特解v(x,t)满足齐次方程，非齐次边界条件，且跟x＝l端同步振动，其时间部分的函数也是tAsin即特解有分离变数的形式：txXtxvsin)(),(代入定解问题可得AlXXXaX)(,0)0(02)/sin()/cos()(axDaxCxX5将上式代入常微分方程的条件AlXX)(,0)0(可得)/sin()]/sin([)(axalAxX则taxalAtxvsinsinsin),(令),(),(),(txwtxvtxu将v和u代入原问题得w的定解问题alaxA|,0|0|,0|0)(00022而此定解问题为齐次方程，齐次边界条件，可分离变数求解！6xlntlanBtlanAtxwnnnsin)sincos(),(0其中系数An，Bn可计算得：即0nAdlnalaAanBtnsin)/sin()/sin(202222221(1)//nAalanl11(1)////nAnaanlanlsin(/)sin(/)sin(/)////Alanlannalaanlanl02sin(//)sin(//)sin(/)2(//)2(//)lAanlanlnalaanlanl7最后可得：lxnlatnlnaalAtxwnsinsin//12),(122222所以可得一般解：lxnlatnlnaalAtalaxAtxunsinsin//12sin)/sin()/sin(),(12222288